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1、树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；

(2)、如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；

(3)、若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 上的两点 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $|\vec{A M}|$ 的值；

(2)、求证： $A M ⊥ P N$ ．

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3、设函数 $f (x) = \sin x - \cos x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f (x + \frac{π}{2})$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值．

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4、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q， ${\vec{O A}}^{2} - (\vec{O P} + \vec{O F}) \cdot \vec{O A} + \vec{O P} \cdot \vec{O F} = 0$ ，且 $\vec{Q P} = 5 \vec{F P}$ ，则C的离心率为．

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5、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \sin ω x (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上的值域为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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6、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，则该直三棱柱的外接球的表面积为．

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7、过 $P (1, \sqrt{3} + 1)$ 、 $Q (3, 3 \sqrt{3} + 1)$ 两点的直线的斜率为．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} - e^{x} (x > 1)$ ， $g (x) = \frac{x}{x - 1} - \ln x (x > 1)$ 的零点分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} = \ln x_{2}$ B、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ C、 $x_{1} + x_{2} > 4$ D、 $x_{1} x_{2} < e$

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P D = 2 \sqrt{3}$ ，点E是棱 $P B$ 上一点（不包括端点），F是平面 $P C D$ 内一点，则（）

A、一定不存在点E，使 $A E / /$ 平面 $P C D$ B、一定不存在点E，使 $P B ⊥$ 平面 $A C E$ C、以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面 $P A D$ 的交线长为 $\frac{π}{3}$ D、 $|A E| + |E F|$ 的最小值 $\frac{16}{5}$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 7$ ，下面说法正确的是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 6 : 7$ B、 $\cos A : \cos B : \cos C = 5 : 6 : 7$ C、 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的 $2$ 倍

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11、已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为 $4.7$ ，则（）

A、 $x = 7$ B、这组数据的中位数为4 C、若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5 D、这组数据的第70百分位数为5.5

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12、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 与直线 $l : y = m x + 2 m (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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13、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则“ $\cos (α - β) < \frac{1}{4}$ ”是“ $\cos α + \sin β < \frac{1}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 $x$ 较大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{x} = \ln x + γ$ （ $x \in N^{*}$ ，常数 $γ = 0.557 \dots$ ）．利用以上公式，可以估算 $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{300}$ 的值为（）

A、 $ln30$ B、 $ln3$ C、 $- ln3$ D、 $- \ln 30$

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15、已知 $2 \cos^{2} θ - \cos θ = 1$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $0$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左，右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，若双曲线左支上存在点 $P$ 使得 $|P F_{2}| = \frac{3}{2} c - 2 a$ ，则离心率的取值范围为（）

A、 $[6, + \infty)$ B、 $(1, 6]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $(m \vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

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18、已知 $(2 + i) z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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19、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{1, 4\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x - a cos \frac{π}{2} x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的值域；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a - 4$ 恰有三个不等实根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $f (2 x_{1}) - 7 f (x_{3}) - 8 x_{1}$ 的最大值，并求出此时实数 $a$ 的值．

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