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1、杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧 $A D$ 的长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 的长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 3$ ，则 $\frac{l_{1}}{l_{2}} =$ .

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2、下列大小关系正确的是（）

A、 ${log}_{0.2} 2023 > {log}_{0.3} 2023$ B、 ${log}_{2022} 2023 > {log}_{2023} 2024$ C、 $\sqrt{2} > {log}_{2} 3$ D、 ${log}_{2} \frac{2024}{2023} > \frac{1}{2023}$

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3、若 $lg a + lg b = lg (a + 2 b)$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ B、 $a + b$ 的最小值是 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} - \frac{b}{8}$ 的最大值是0 D、 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最大值是 $\frac{3}{4}$

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4、已知边长为 $1$ 的正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ .若集合 $P = \{m |m = \vec{A_{1} A_{2}} \cdot \vec{A_{i} A_{j}} (i, j \in \{1, 2, \dots, n\}$ 且 $i \neq j)\}$ ，则（）

A、当 $n = 3$ 时， $P = \{- 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ B、当 $n = 4$ 时， $P = \{- 1, 1\}$ C、当 $n = 5$ 时， $2 {cos}^{2} 36^{\circ} \in P$ D、当 $n = 6$ 时， $\{0, 1, 2\} \subseteq P$

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .若 $f (x - \frac{π}{8})$ 为奇函数， $f (x + \frac{π}{8})$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的最大值是（）

A、2 B、6 C、10 D、14

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6、某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以 $a %$ 的增长率生长.若经过 $4$ 周后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则再经过 $6$ 周，该植物的长度大约是原来的（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ 倍 B、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$ 倍 C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ 倍 D、 $\frac{9 \sqrt{6}}{16}$ 倍

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7、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - |x - a|}$ 为偶函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ B、 $a \geq 3$ C、 $- 3 \leq a \leq 3$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$

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8、已知菱形 $A B C D$ 的边长为1，若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $|\vec{A B} + 2 \vec{B C}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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9、“ $\frac{b}{a} < 1$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、为了得到函数 $y = sin x$ 的图象，可以将函数 $y = sin (x + \frac{1}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度

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11、若集合 $M = \{x |3^{x} < 81\}$ ， $N = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，

(1)、若 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P D$ 上的点 $E$ 满足 $P E = 2 D E$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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13、意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ．记一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，其中 $b_{n}$ 的值为 $a_{n}$ 除以4得到的余数，则 $\sum_{i = 1}^{2024} b_{i} =$ ．

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14、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} - 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段CQ上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为1 C、点F到直线CQ的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线CQ与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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16、设双曲线 $Γ$ 的中心为O，右焦点为F，点B满足 $2 \vec{F B} = \vec{O F}$ ，若在双曲线 $Γ$ 的右支上存在一点A，使得 $|O A| = |O F|$ ，且 $∠ O A B \geq 3 ∠ O B A$ ，则 $Γ$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ C、 $(1, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{15} - 3}{7}, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$

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17、设平面 $α$ 内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面 $α$ 内存在一点D满足 $\vec{P D} = x \vec{P A} + (2 - x)$ $\vec{P B} + 3 x \vec{P C}$ ，则x的值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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18、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、判断 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1, (x \in [0, 4])$ 是否为 $f (x) = x + 4 (x \in [0, 5])$ 的“n重覆盖函数”，如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，说明理由．

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array}$ ，为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1, [2] = 2, [- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“ $2023$ 重覆盖函数”请直接写出正实数 $a$ 的取值范围（无需解答过程）．

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19、如图，在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，且满足 $|P D| = \sqrt{2} |M D|$ ．当点 $P$ 在圆上运动时， $M$ 的轨迹为 $Ω$ ．

(1)、求曲线 $Ω$ 的方程；

(2)、点 $A (2, 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交曲线 $Ω$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．已知 $G$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意 $k (k \neq 0)$ 都有 $O G ⊥ C Q$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E F // A D$ ， $A E = 2 E F = 2$ ， $∠ E A D = 120^{\circ}$ ，平面 $A D F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $B D F$ 所成锐角的余弦值．

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