2017-2018学年江苏省盐城市2017-2018学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷日期：2017-12-13 考试类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B= ．

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2. 函数y=sin2x的最小正周期是．

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3. 设幂函数y=x^α的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则α的值为．

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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2， $b = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则A= ．

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5. 命题“∃x∈R，使x²﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．

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6. 在等差数列{a_n}中，若 $a_{2} + a_{5} = \frac{2}{3}$ ，则数列{a_n}的前6项的和S₆= ．

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7. 设向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， 3)$ ， $\vec{c} = (7 ， 8)$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} (x ， y \in R)$ ，则x+y= ．

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8. 若函数f（x）=x²+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为．

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9. 设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ = ．

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10. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0， $- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，若 $f (α) = \frac{6}{5}$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ），则 $f (α + \frac{π}{6})$ 的值为．

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11. 设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2^x ，则f（log₂20）= ．

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12. 设函数f（x）=|x﹣a|+ $\frac{9}{x}$ （a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是．

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13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A= $\frac{π}{3}$ ，a=4 $\sqrt{7}$ ，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3 $\sqrt{3}$ ，则S_△ABC= ．

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14. 设数列{a_n}共有4项，满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N^*），a_i﹣a_j仍是数列{a_n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a_n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia_i=ja_j；③数列{a_n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）

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二、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3， $c o s B = \frac{7}{9}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 7$ ．

(1)、求b的值；

(2)、求sin（A﹣B）的值．

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16. 记函数f（x）=lg（1﹣ax²）的定义域、值域分别为集合A，B．

(1)、当a=1时，求A∩B；

(2)、若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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17. 设直线 $x = - \frac{π}{6}$ 是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．

(1)、求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；

(2)、求函数f（x）在[0，π]上的减区间．

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18. 2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N^*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．

(1)、试求f（n）的表达式；

(2)、根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
（参考数据： ${(\frac{3}{2})}^{4} \approx 5$ ，ln2≈0.7，ln3≈1.1）

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19. 已知数列{a_n}满足a₁=﹣1，a₂=1，且 $a_{n + 2} = \frac{2 + {(- 1)}^{n}}{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求a₅+a₆的值；

(2)、设S_n为数列{a_n}的前n项的和，求S_n；

(3)、设b_n=a_2n_﹣1+a_2n ，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得b_i ， b_j ， b_k成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．

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20. 设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．

(1)、若函数 $h (x) = f (x) + \frac{1}{x}$ 在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；

(2)、设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的 $x \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；

(3)、设m＞0，点P（x₀ ， y₀）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x₀满足题意，且 $x_{0} \in (1 ， \frac{π}{2})$ ．

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