江苏省常州市武进区2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷日期：2017-12-12 考试类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q= ．

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2. 函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期为．

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3. 设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）

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4. 已知数列{a_n}中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，对n∈N^*都有 $a_{n + 1} = \frac{1 - a_{n}}{1 + a_{n}}$ 成立，则a₂₀₁₈的值为．

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m的值为．

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6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $c = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ，B=120°，则角C等于．

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7. 等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=1，公比 $q = 2^{\frac{1}{3}}$ ，其前n项的和为S_n ，则S₁₅= ．

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8. 已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α= ．

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9. 函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．

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10. 已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，且sinx﹣cosx= $\frac{1}{5}$ ，则4sinxcosx﹣cos²x的值为．

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11. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1 ， x \leq 0 \\ 4^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．

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12. 已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则 $\frac{2 x^{2} - 1}{x} + \frac{y^{2} - 2}{y + 1}$ 的最大值为．

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13. 已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若 $| \vec{P A} | = 1$ ， $| \vec{P B} | = 2$ ， $| \vec{P C} | = 3$ ，则 $| \vec{P D} |$ = ．

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14. 已知数列{a_n}中，a₁=2，点列P_n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P_nAB与△P_nAC的面积比为2：1，若对n∈N^*都存在数列{b_n}满足 $b_{n} \vec{P_{n} A} + \frac{1}{2} a_{n + 1} \vec{P_{n} B} + (3 a_{n} + 2) \vec{P_{n} C} = \vec{0}$ ，则a₄的值为．

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二、解答题

15. 如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点 $P (\frac{4 π}{3} ， 2)$ 是图象的一个最高点，点 $Q (\frac{π}{3} ， 0)$ 是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的 $\frac{1}{4}$ （纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且 $\vec{O P}$ =m $\vec{A B} + n \vec{A C}$ （m，n∈R），

(1)、若m=1，且 $\vec{O P}$ ∥ $\vec{B C}$ ，试求实数n的值；

(2)、若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．

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17. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x³+x² ．

(1)、求f（x）在R上的解析式；

(2)、当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若f （x）的值域为[3m²+2m﹣1，3n²+2n﹣1]，求实数m，n的值．

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18. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．

(1)、求θ关于x的函数关系式；

(2)、已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

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19. 在数列{a_n}中， $a_{1} = \frac{19}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{38 a_{n} - 1}{4 a_{n} + 42}$ ， $b_{n} = \frac{20}{2 a_{n} + 1}$ ，其中n∈N^* ．

(1)、求证：数列{b_n}为等差数列；

(2)、设c_n=b_nb_n+1cosnπ，n∈N^* ，数列{c_n}的前n项和为T_n ，若当n∈N^*且n为偶数时， $T_{n} \leq t n^{2}$ 恒成立，求实数t的取值范围；

(3)、设数列{a_n}的前n项的和为S_n ，试求数列{S_2n﹣S_n}的最大值．

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20. 已知函数f（x）=ax²+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．

(1)、若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；

(2)、若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \frac{1}{8} s i n x$ ，若对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈[0，π]，使得f（x₁）+g（x₂）≥2成立，求整数a的最小值．

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