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1、常用测量距离的方式有3种．设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义欧几里得距离 $d (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，定义曼哈顿距离 $m (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，定义余弦距离 $e (A, B) = 1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = cos ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ （ $O$ 为坐标原点）．

(1)、若 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，求 $A, B$ 之间的欧几里得距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在函数 $y = 3^{x}$ 的图象上且 $x \in Z$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(1, 27)$ ，求 $m (P, Q)$ 的最小值；

(3)、若 $C (\sqrt{4 x - x^{2}}, x - 2), D (- 1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，求 $e (C, D)$ 的取值范围.

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2、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2, 0)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $D (1, 4)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、若 $E, F$ 是圆 $M$ 上的两个动点，当 $∠ E D F$ 最大时，求直线 $E F$ 的方程.

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3、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋ $\sqrt{3}$ asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝ $\frac{1}{7}$ ， AD＝ $\frac{\sqrt{129}}{2}$ ，求△ABC的面积．

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4、在一个盒子中有 $2$ 个白球， $3$ 个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取 $1$ 个，取后不放回，直到 $2$ 个白球都被取出来后就停止取球．

(1)、求 $2$ 个白球都被甲取出的概率；

(2)、求将球全部取出才停止取球的概率．

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5、圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P_{0} (- 1, 2)$ ， $A B$ 为过点 $P_{0}$ 的弦.当弦 $A B$ 被点 $P_{0}$ 平分时，则直线 $A B$ 的方程为.

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6、2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10， $m$ ，若去掉 $m$ ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数 $m (1 \leq m \leq 10)$ 的值可以是（写出一个满足条件的 $m$ 值即可）．

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7、两个正方形框架 $A B C D, A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点 $M ， N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．（）

A、 $M N / / 平面 B C E$ B、三棱锥 $F - A C E$ 的外接球的表面积为 $12 π$ C、当 $M N$ 的长最小时，平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、当 $M N$ 的长最小时，直线 $C E$ 到平面 $M N B$ 的距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{13 π}{12})$ 有两个零点 C、直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{12})$ 单调递增

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9、对任意实数 $a, b, c ，$ 下列命题中正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的充要条件 B、“ $a b$ 是无理数”是“ $a ， b$ 都是无理数”的既不充分也不必要条件 C、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件

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10、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意x，y满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $g (2 x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 0$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2023} f (n) = 1$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (0, 4)$ .若直线 $2 x - y + c = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $P B = 2 P A$ ，则实数 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{5}, \sqrt{5})$ B、 $[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$ C、 $(- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ D、 $[- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$

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12、已知点 $M (3, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 的对称点为 $P$ ，经过点 $P$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 7, 1)$ ， $B (5, 8)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, \frac{3}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{8}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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13、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）．

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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14、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2^{x} > 1\}$ ， $B = \{x |y = \ln (2 - x)\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [2, + \infty)$

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15、在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知 $z_{1} = (a + 1) - 2 i$ 为纯虚数，则 $z_{2} = a + i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b$ 过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及简图；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[m, m + 2]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, 3]$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $y = f (x)$ 的不动点，函数 $g (x) = f (x) - a x + a$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

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18、某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元， $f (x) =$ $\{\begin{array}{l} 5 x^{2} + 50 x + 500, 0 < x < 40, 100 x \in N, \\ 301 x + \frac{2500}{x} - 3000, x \geq 40, 100 x \in N . \end{array}$ 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断当 $x \in (- 1, 1)$ 时函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明.

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20、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | 1 \leq x \leq 5\}$ ，集合 $B = {x | - 1 - 2 a \leq x \leq a - 2}$ ．

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题“ $\forall x \in B$ ，则 $x \in A$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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