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1、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R ， A ， B ， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{6} c o s B = (3 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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3、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $s i n A = s i n B$ ，且 $\sqrt{3} (a c o s B + b c o s A) = 2 c s i n C$ ， D是 $△ A B C$ 外一点且B、D在直线AC异侧， $D C = 2$ ， $D A = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $A C = 2 \sqrt{13}$ ，则A ， B ， C ， D四点共圆 C、四边形ABCD面积的最小值为 $10 \sqrt{3} - 12$ D、四边形ABCD面积的最大值为 $10 \sqrt{3} + 12$

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4、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{t a n B}{t a n C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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6、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 a s i n B$ ， $b c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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7、若 $△ A B C$ 的三个内角为 $A, B, C$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $s i n A, s i n B, s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $s i n 2 A, s i n 2 B, s i n 2 C$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A, s i n^{2} B, s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A}, \sqrt{s i n B}, \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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9、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 9, b = 8, c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{225}{11} π$ B、 $\frac{125}{11} π$ C、 $\frac{123}{6} π$ D、 $\frac{113}{6} π$

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10、已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘} ，$ $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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11、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s (B + \frac{π}{6}) = b s i n A$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12、在 $△ A B C$ 中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{s i n B + s i n C}$ 的值为．

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13、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且满足 $a = - 3 b c o s C$ ，则tanA的最大值为.

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 8$ ，边 $A B, A C$ 在平面 $α$ 上的射影长分别为 $3, 4$ ，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长可能为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{13}$

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15、等边 $△ A B C$ 的边长为5，点 $A$ 在平面 $α$ 上，点 $B, C$ 在 $α$ 的同一侧，且边 $A B, A C$ 在 $α$ 上的射影长分别为3，4，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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16、记的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{2}{3} π, b = 6, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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18、已知 $△ A B C$ 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，则下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $a > b$ ，则 $c o s A > c o s B$ C、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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19、在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a s i n^{2} \frac{B}{2} + b s i n^{2} \frac{A}{2} = \frac{3 a b}{2 (a + b + c)}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $c c o s B + 2 a c o s A + b c o s C = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = 2 b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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