相关试卷

1、已知：如图， $∠ B + ∠ 3 = 90 °, ∠ B + ∠ E = 90 °$ ， $∠ 1 = ∠ E$ ．求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：

证明：∵ $∠ B + ∠ 3 = 90 °, ∠ B + ∠ E = 90 °$ ，（已知）
∴      $= ∠ E$ ，（      ）
∴ $A D ∥ E G$ ，（      ）
∵ $∠ 2 = ∠ 1$ ，（      ）
∵ $∠ 1 = ∠ E$ （已知），
∴ $∠ 2 = ∠ E$
∴     ＝      ，（      ）．
∴ $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．（      ）

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2、已知关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y - 6 = 0 \\ x - 2 y + m x + 5 = 0 \end{array}$ ．

(1)、若方程组的解满足 $x + y = 0$ ，求 $m$ 的值；

(2)、无论实数 $m$ 取何值，方程 $x - 2 y + m x + 5 = 0$ 总有一个固定的解，请直接写出这个解？

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3、如图， $△ A B C$ 中，点 $E$ 在边 $B A$ 上， $A D ⊥ B C$ ， $E F ⊥ B C$ ，垂足分别是 $D, F, ∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、 $D G$ 与 $B A$ 平行吗？请写出证明过程；

(2)、若 $∠ B = 51 °$ ， $∠ C = 54 °$ ，求 $∠ C G D$ 的度数．

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4、小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程．

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5、数学课上，陈老师说：“同学们，如果 $∠ A$ 的两边与 $∠ C$ 的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据 $A B // C D$ ， $A E // C F$ 的条件，得出了 $∠ A = ∠ C$ 的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________．

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6、解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} x = 2 y ① \\ 2 x + y = 5 ② \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 16 ① \\ x - 2 y = 1 ② \end{array}$ ．

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7、若方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ ，求方程组 $\{\begin{array}{l} 3 a_{1} (x - 1) + b_{1} (y + 3) = 4 c_{1} \\ 3 a_{2} (x - 1) + b_{2} (y + 3) = 4 c_{2} \end{array}$ 的解 $x =$ ， $y =$ ．

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8、如图，已知 $△ A B C$ 的面积为16， $B C = 8$ ．现将 $△ A B C$ 沿直线 $B C$ 向右平移 $a$ 个单位到 $△ D E F$ 的位置．当 $△ A B C$ 所扫过的面积为32时，那么 $a$ 的值为．

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9、将一把直尺和一块含 $30 °$ 角的三角板 $A B C$ 按如图所示的位置放置，若 $∠ 1 = 48 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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10、已知二元一次方程 $2 x - 3 y = 2$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y, y =$ ．

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11、过直线 $l$ 外一点 $P$ 画 $l$ 的垂线 $C D$ ，下列各图中，三角尺操作正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）

A、比 B、立 C、秝 D、鼎

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13、如图，半径为2的 $⊙ O$ 中，弦 $B C$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 是优弧 $B C$ 上的一个动点，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交圆 $O$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、当点 $A$ 沿着优弧 $B C$ 从点 $B$ 开始，顺时针运动到点 $C$ 时，求 $△ A B C$ 的内心点 $E$ 所经过的路径的长度；

(3)、连接 $O E$ ，设 $O E = x, A E = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式和 $A E$ 的最大值．

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14、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

(1)、若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $c$ 的值，并用含 $b$ 的式子表示 $a$ ；

(2)、已知点 $P_{1} (- 2, 1) ， P_{2} (2, - 1) ， P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线 $l ： y = k x + 1$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ M A N = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B ， C$ ．求证： $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等．

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15、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2} ， D$ 为 $A B$ 中点， $∠ B A C = ∠ B C D ， cos ∠ A D C = \frac{\sqrt{2}}{4} ， ⊙ O$ 是 $△ A C D$ 的外接圆．

(1)、求 $B D$ 和 $B C$ 的长；

(2)、利用尺规作图，过点 $A$ 作线段 $C D$ 垂线，交 $C D$ 于点 $E$ ，保留作图痕迹；

(3)、求 $⊙ O$ 的半径．

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16、【阅读理解】
在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了 $30 °$ ， $60 °$ ， $45 °$ 这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出 $\tan 15 °$ 的值．

如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ 延长 $C B$ 到点D，使 $D B = A B$ ，则有 $∠ D = 15 °$
在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$    ∴ $A B = B D = 2$     $B C = \sqrt{3}$
在 $Rt △ A C D$ 中    $\tan D = \frac{A C}{D C} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、【实际应用】2022年北京冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，西宁市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道 $A B$ ，如图2所示，滑道的坡角 $∠ B = 15 °$ ，水平宽度 $B C = 100 m$ ．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

(2)、【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出 $\tan 22.5 °$ 的值吗？
类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整：
解： $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 1$


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17、中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企.2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型
人数
百分比
纯电
$m$
$54 %$
混动
$n$
$a %$
氢燃料
3
$b %$
油车
5
$c %$
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查活动随机抽取了___________人；表中 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、请补全条形统计图：

(3)、若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象都经过点 $A (2, 4)$ ．

(1)、求该正比例函数和反比例函数的解析式：

(2)、当函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的值时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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19、解分式方程： $\frac{3}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} - 1$

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20、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ ，点 $F$ 分别是边 $B C$ ，边 $C D$ 上的动点，且 $B E = C F ， A E$ 与 $B F$ 相交于点 $P ． ∠ A P B =$ ，若点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，点 $N$ 为边 $C D$ 上任意一点，则 $M N + P N$ 的最小值等于．

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类型	人数	百分比
纯电	$m$	$54 %$
混动	$n$	$a %$
氢燃料	3	$b %$
油车	5	$c %$