相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D，过点O作 $A C$ 的平行线 $O E$ ，交 $B C$ 于点E，作射线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点F，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3 C D$ ， $C D = 3$ ，求图中阴影部分的面积．

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2、问题背景：
（1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图（1），将它放入一个直角三角形中， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，顶点D，E，F，G刚好落在三边上，求该直角三角形的面积．
问题提出与解决∶
（2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图（2）所示的直角坐标系中，顶点A，B，C分别落在坐标轴上，如果反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过顶点D，求反比例函数的解析式．

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3、【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式 $x^{2} + 8 x + 25$ 进行配方．
解：原式 $= x^{2} + 8 x + 16 + 9 = {(x + 4)}^{2} + 9$ ；
例2．求代数式 $- x^{2} + 4 x - 7$ 的最大值．
解：原式 $= - (x^{2} - 4 x + 4) - 3 = - {(x - 2)}^{2} - 3$ ，
∵ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， ∴ $- {(x - 2)}^{2} \leq 0$ ， ∴ $- {(x - 2)}^{2} - 3 \leq - 3$ ， ∴ $- x^{2} + 4 x - 7$ 的最大值为 $- 3$ ．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足 $2 m^{2} - 12 m + 11 = 2 {(m - k)}^{2} + h$ ，求 $k + h$ 的值．
【迁移应用】
（2）如图，有一块锐角三角形余料 $A B C$ ，它的边 $B C = 12$ 厘米，高 $A D = 8$ 厘米．现要用它裁出一个矩形工件 $P Q M N$ ，使矩形的一边在 $B C$ 上，其余的两个顶点分别在 $A B$ 、 $A C$ 上．
①设 $P N = x$ ，试用含x的代数式表示矩形工件 $P Q M N$ 的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．

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4、计算：

(1)、 $- 1^{2025} + \sqrt{27} - {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \div (- \frac{1}{2})$ ．

(2)、先简化，再求值 $(\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x - 1}{x - 2}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．

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5、定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时， $F (n) = 3 n + 1$ ；②当n为偶数时， $F (n) = \frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使 $F (n)$ 为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取 $n = 12$ ，则 $12 \to_{第 1 次}^{F ②} 3 \to_{第 2 次}^{F ①} 10 \to_{第 3 次}^{F ②} 5$ …，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是．

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6、如图，已知五边形 $A B C D E$ 为正五边形，以点A为圆心，以 $A C$ 的长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A E$ 的延长线于点F，G，连接 $C G$ ， $D G$ ，则 $∠ C G D =$ ．

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7、若分式 $\frac{x + 2}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为．

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8、下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ B、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{15}$ C、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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9、斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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10、抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的右边），交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、如图（1），连接 $A C$ ， $B C$ ，过第三象限的抛物线上的点 $P$ 作直线 $P Q ∥ A C$ ，交y轴于点 $Q$ ．若 $B C$ 平分线段 $P Q$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图（2），点 $D$ 与原点 $O$ 关于点 $C$ 对称，过原点的直线 $E F$ 交抛物线于 $E$ ， $F$ 两点（点 $E$ 在 $x$ 轴下方），线段 $D E$ 交抛物线于另一点 $G$ ，连接 $F G$ ．若 $∠ E G F = 90 °$ ，求直线 $D E$ 的解析式．

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11、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，F是 $A D$ 延长线上一点，连接 $C D$ ， $C F$ ，且 $∠ D C F = ∠ C A D$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $sin B = \frac{4}{5}$ ，求 $F D$ 的长．

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12、冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．

(1)、求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？

(2)、某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）

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13、如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、尺规作图：在 $C B$ 的延长线上截取 $B E = B C$ ，连接 $A E$ ，再过点 $B$ 作 $A E$ 的垂线交 $A E$ 于点 $F$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证：四边形 $A O B F$ 为矩形．

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14、如图，已知点A、F、C、D在同一条直线上，且 $A F = D C$ ，若 $A B = D E$ ， $A B ∥ D E$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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15、计算： ${(2025 - π)}^{0} + |\sqrt{8} - 3| + \sin 45 °$ ．

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，E，F分别是边 $A D 、 D C$ 上的动点，且 $A E = D F$ ，连接 $A F ， B E$ 交于点G，P是 $A D$ 边上的另一个动点，连接 $P G ， P C$ ，则 $P G + P C$ 的最小值为．

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17、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的一边 $A B$ 在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线 $y = x^{2} + x - 6$ 经过点A、B，则点C的坐标为．

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18、已知 $x_{1}, x_{2}$ 分别是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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19、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，它的对称轴为 $x = - \frac{1}{2}$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b^{2} - 4 a c < 0$ C、 $4 a - 2 b + c < 0$ D、若 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 是这个抛物线上的两点，则当 $|x_{1} + \frac{1}{2}| > |x_{2} + \frac{1}{2}|$ 时， $y_{1} < y_{2}$

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20、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 于点 $C$ ， $∠ O A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为 $⊙ O$ 所在平面内一点，且 $O P = 3$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是( )

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 D、无法确定

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