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相关试卷

1、阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F, G, H$ 分别是边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点，顺次连接 $E, F, G, H$ ，得到的四边形 $E F G H$ 是平行四边形．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接 $A C 、 B D$ ，

$∵ H, G$ 分别为 $A D, C D$ 的中点，

$∴ H G ∥ A C$ ．（依据1）

$∵ E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，

$∴ E F ∥ A C$ ．

$∴ H G ∥ E F$

同理： $H E ∥ G F$

$∴$ 四边形 $E F G H$ 是平行四边形．（依据2）

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 $E F G H$ 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．

任务：

(1)、填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．

(2)、如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形

E F G H

的周长与对角线

A C, B D

长度的关系，并证明你的结论．

(3)、请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

及它的瓦里尼翁平行四边形

E F G H

，且四边形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

的夹角为

60 °

，求瓦里尼翁平行四边形

E F G H

中

∠ H E F

的度数．

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2、【阅读材料】先来看一个有趣的现象： $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2} \times 2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
$\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ 等．
【猜想】（1） $\sqrt{5 \frac{5}{24}} =$ _______，并证明你的猜想；
【推理证明】（2）请你用一个正整数 $n$ （ $n$ 为“穿墙”数， $n \geq 2$ ）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若 $\sqrt{a + \frac{8}{b}} = a \sqrt{\frac{8}{b}}$ （ $a, b$ 为正整数），则 $a + b$ 的值为_______．

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3、在数学学习中，观察

\to

实验

\to

猜想

\to

证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：

【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为 $a, b$ ，斜边为 $c$ ，那么 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．对于一般的三角形 $△ A B C$ ，三边长分别为 $B C = a, A C = b, A B = c$ ，且 $c \geq b \geq a$ ，其边长的平方是否也存在某种关系．

【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：

当 $△ A B C$ 是锐角三角形时，三边之间的关系是： $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ；

当 $△ A B C$ 是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．

【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点 $A$ 作 $A D ⊥ C B$ ，垂足为 $D$ ．这样就把锐角 $△ A B C$ 分成了两个直角三角形 $△ A D C$ 和 $△ A D B$ ，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．

以下是小组成员的证明过程：

如图①，过点 $A$ 作 $A D ⊥ C B$ ，垂足为 $D$ ．设 $C D = x$ ．

$∵$ 在 $Rt △ A D C$ 中， $A D^{2} = b^{2} - x^{2}$ ，

在 $Rt △ A D B$ 中， $A D^{2} =$ ② ， $∴ b^{2} - x^{2} =$ ② ．

化简得， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2 a x$ ．

$∵ a > 0, x > 0, ∴ 2 a x > 0$ ．

$∴ a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ．

$∴ a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ．

（1）其中，①是_______；②是_______．

【知识迁移】（2）如图②，当 $△ A B C$ 是钝角三角形时，请证明 $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 之间的关系．

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4、为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形 $A B C D$ 进行改建，将四边形 $A B C D$ 全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量 $∠ B = 90 °, A B = 9 m, B C = 12 m, C D = 8 m, A D = 17 m$ ．

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两点之间的距离．

(2)、求购买运动型塑胶地板的费用．

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5、如图， $A B = A C, ∠ A = 40 °$ ．

(1)、作线段 $A B$ 边的垂直平分线 $M N$ ，直线 $M N$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ，连接 $B D$ ；（尺规作图，保留作图痕迹）

(2)、求 $∠ D B C$ 的度数．

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6、（1）计算： $\sqrt{3} \times \sqrt{12} - \sqrt{8} \div \sqrt{2}$ ；
（2）解分式方程： $\frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x}$ ．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $E F ∥ C D$ ，点 $P$ 是线段 $E F$ 上的动点，连结 $A P, B P$ ， $S_{△ A B P} = 10$ ．当 $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形时， $B P$ 的长为．

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8、古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt $△ A C D$ 的边 $A D$ ， $A C$ ， $C D$ 为直径画半圆，若斜边 $A D = 4$ ，则图中两个月形图案 $A G C E$ 和 $D H C F$ （图中阴影部分）的面积之和为．

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9、已知分式 $\frac{2 x + a}{x - b}$ （ $a, b$ 为常数）满足表格中的信息：
$x$ 的取值
$2$
$0.5$
分式的值
无意义
$0$
则 $b^{a}$ 的值是．

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10、如图，圆柱形玻璃杯高为 $14 cm$ ，底面周长为 $32 cm$ ，在杯内壁离杯底 $5 cm$ 的点 $B$ 处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 $3 cm$ 与蜂蜜相对的点 $A$ 处，则蚂蚁从外壁 $A$ 处到内壁 $B$ 处的最短距离为（）

A、 $20 cm$ B、 $16 cm$ C、 $22 cm$ D、 $27 cm$

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11、在物理学中，物质的密度 $ρ$ 等于由物质组成的物体的质量 $m$ 与它的体积 $V$ 之比，即 $ρ = \frac{m}{V}$ ．已知 $A, B$ 两个物体的密度之比为 $3 : 1$ ，当物体 $A$ 的质量是 $200 g$ ，物体 $B$ 的质量是 $600 g$ 时，物体 $B$ 的体积比物体 $A$ 的体积大 $24 {cm}^{3}$ ．如果设物体 $A$ 的体积是 $x {cm}^{3}$ ，那么根据题意列方程为（）

A、 $3 \times \frac{200}{x} = \frac{600}{x - 24}$ B、 $3 \times \frac{200}{x} = \frac{600}{x + 24}$ C、 $\frac{200}{x} = 3 \times \frac{600}{x - 24}$ D、 $\frac{200}{x} = 3 \times \frac{600}{x + 24}$

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12、海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，记 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，那么三角形面积可以表示为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{5}$

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13、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 12$ ， $A B = 8$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 边于点E，则 $C E$ 的长为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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14、如图，在边长为 $a$ 的正方形中剪去一个边长为2的小正方形 $(a > 2)$ ，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（）

A、 $a^{2} + 2^{2} = (a + 2) (a - 2)$ B、 $a^{2} - 2^{2} = (a + 2) (a - 2)$ C、 ${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4$ D、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

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15、如图 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，若 $B C = 8$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、16 B、6 C、4 D、10

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16、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 4$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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17、如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $40 °$ D、 $110 °$

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18、以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、6，7，8 B、2，2， $\sqrt{5}$ C、1，3， $\sqrt{10}$ D、1，3，3

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19、下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ C、 $\sqrt{54}$ D、 $\sqrt{0.4}$

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20、下列各式是二次根式的是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{- 3}$ D、 $π$

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$x$ 的取值	$2$	$0.5$
分式的值	无意义	$0$