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1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + m}$ ．

(1)、是否存在 $m \in R$ ，使得 $f (x) + f (2 - x)$ 为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；

(2)、若 $m = 1$ ，方程 $|f (x) - \frac{1}{2}| = k f (x) (k \in R)$ 有两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\tan x$ 的值．

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3、在平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{B C} = (x - 1, y)$ ， $\vec{C D} = (2 x, - 2 y)$ ，且 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ 为非零向量．

(1)、若B是AD的中点，求 $\vec{B C}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ， $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求四边形ABCD的面积．

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4、已知 $△ A B C$ 中 $A B = 2$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = \frac{{\vec{A B}}^{2} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} \cdot \vec{A B}}{{\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2}}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ ．

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5、已知复数z满足 $| z | \leq 2$ ，且 $\frac{| z - 1 |}{| z - i |} = 1$ ，则复数z表示的轨迹长为．

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6、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin^{2} B + \sin^{2} A = \sin^{2} C + \frac{3}{2} \sin B \sin A$ ，则 $\sin C =$ ．

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7、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $x \in [- 2, 0]$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为4的函数 B、 $f (x)$ 相邻两条对称轴间的距离为4 C、 $x \in [4, 6]$ 时， $f (x) = 3$ 的解是 $4 + \sqrt{3}$ D、若 $y = f (x) - 1, x \in [m, n]$ （ $n > m$ ）有2024个零点，则 $n - m$ 的最小值是4047

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8、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\sqrt{3} |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ C、若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $△ O A B$ 的外接圆半径长为 $|\vec{a}|$ D、若 $|\vec{a}| = 1$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$

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9、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称， $f (x)$ 在定义域 $R$ 上单调递增，则不等式 $f (\sin x + 3) + f (\sqrt{3} \cos x) > 0$ 的解是（）

A、 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{2 π}{3})$ ， $k \in Z$

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10、水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足 $Y = Y_{0} e^{- λ t} (t \geq 0)$ ，其中 $λ$ 为正常数， $Y_{0}$ 为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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11、 $△ A B C$ 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 $\vec{B E} = - x \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = y \vec{B C}$ （ $x, y > 0$ ），则xy的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、4

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12、在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则 $\vec{A Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量是（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $- \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$

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13、已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x + e}{x - 1} + m \sin x$ （e为自然对数的底数），且 $f (2) = 2024$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、2024 B、 $- 2024$ C、2022 D、 $- 2022$

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14、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、60° D、120°

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15、已知复数z满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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16、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = 2 x^{2} (- 1 \leq x \leq 1)$ 是否为 $f (x) = 1 + sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array} (a \geq 0)$ ，为 $f (x) = {log}_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[2]= 2,[- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、连接 $D B_{1}$ 交 $B D_{1}$ 于点 $G$ ，求三棱锥 $G - A E C$ 的体积；

(3)、已知点 $F$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $P$ 为平面 $B B_{1} D_{1} D$ 内的一个动点，若 $F P / /$ 平面 $E A C$ ，求 $F P$ 长度的最小值．

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18、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上的值域．

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20、球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为 $R$ ，球冠的高是 $h$ ，球冠的表面积公式是 $S = 2 π R h$ ，与之对应的球缺的体积公式是 $V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 R - h)$ ．如图2，已知 $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的圆上的两点， $∠ A O C = ∠ B O D = \frac{π}{3}, S_{扇形 C O D} = \frac{2}{3} π$ ，则扇形 $C O D$ 绕直线 $A B$ 旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为．

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