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1、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的关系（）

A、共线 B、垂直 C、不垂直也不平行 D、都有可能

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2、已知复数 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x (ω > 0)$

(1)、化简 $y = f (x)$ 的表达式.

(2)、若 $y = f (x)$ 的最小正周期为π，求 $y = f (x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ 的单调区间与值域.

(3)、将（2）中的函数 $f (x)$ 图像上所有的点向右平移 $φ (φ \in [0, \frac{π}{2}])$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ ，且 $y = g (x)$ 图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数 $y = g (λ x)$ ， $x \in [a, a + \frac{π}{3}]$ 与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数 $λ$ 的取值范围.

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4、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 6$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求AC；

(2)、在（1）的条件下，若 $A D = \sqrt{26}$ ，求 $cos 2 D$ ．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的外接圆的半径为R，且 $2 R - b = 2 b \sin B$ ，且 $0 < B < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ，求 $\sin C$ ．

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6、如图，一个圆锥的底面半径 $R = 3 cm$ ，高 $H = 4 cm$ ，在其内部有一个高为 $x cm$ 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．

(1)、求圆锥的侧面积；

(2)、当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．

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7、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 1$ ， $(\overset{⃑}{a} - 3 \overset{⃑}{b}) \cdot (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) = 3$

(1)、求 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 的夹角.

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8、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2,$ $O$ 为 $B C$ 中点， $E, F$ 分别是线段 $A B, A C$ 上的动点，且 $∠ E O F = 150^{\circ}$ ，当 $E F / / B C$ 时，则 $E F^{2}$ 的值为.

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9、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为 $1$ 的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．

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10、已知向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (- 1, 5), \vec{c} = (2, 3)$ ，若 $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $t \vec{c} + \vec{b}$ 共线，则实数 $t =$ .

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $sin A = 2 sin B$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $c = 2 \sqrt{2} b$ B、若 $C = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 C、若 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $sin B = \frac{\sqrt{15}}{8}$ D、若 $c = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为3

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12、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, t) (t \in R)$ ，则（）

A、与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(\frac{3}{13}, - \frac{2}{13})$ B、当 $t = 2$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、当 $t = 1$ 时， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面内的一组基底 D、当 $t = 4$ 时， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- \frac{3}{13}, \frac{2}{13})$

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13、若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m^{2} - 1) i， (m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、当 $m = 1$ 或 $m = - 1$ 时，z为实数 B、若z为纯虚数，则 $m = - 1$ 或 $m = 3$ C、若复数z对应的点位于第二象限，则 $1 < m < 3$ D、若复数z对应的点位于直线 $y = 2 x$ 上，则 $z = 12 + 24 i$

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14、一艘船以40海里 $/$ 小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东 $30 °$ ， $0.5$ 小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东 $75 °$ ，则灯塔S与B之间的距离是（）

A、5海里 B、10海里 C、 $5 \sqrt{2}$ 海里 D、 $10 \sqrt{2}$ 海里

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15、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $125 π$ D、都不对

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16、如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、8

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ 与 $\vec{b} = (- 4, λ)$ 垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、12 D、 $- 12$

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18、已知复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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19、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $x \in R$ ）， $g (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）

(2)、利用（1）中的结论，在 $△ A B C$ 中，求 $\sin A + \sin B + \sin (A + B)$ 的最大值；

(3)、证明函数 $h (x) = a \ln \frac{1}{x} - x^{2} - \frac{2}{x} (a \leq 0)$ 是上凸函数．

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20、如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时．

(1)、求加油船到达小岛B所需的时间；

(2)、两艘船最少经过多少小时能相遇？

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