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1、已知函数 $y = f (x)$ 的图像如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} n \sin \frac{n π}{2}$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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3、已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为 $a_{n}$ 的前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、20

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{7}}{b_{2} + b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{37}{13}$ B、 $\frac{111}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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5、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) cos 2 x + \sin x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 8, A C = 6, ∠ B A C = 90 °$ ， D是BC边的中点， $∠ A_{1} C A = 45 °$ ．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求证： $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} D$ ．

(3)、一只小虫从点 $A_{1}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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7、在 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} + b c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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9、已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ ， m为实数．

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z > 2$ ，求m的值；

(3)、若 $m = 0$ ﹐求 $| \frac{z}{1 - i} |$ 的值．

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10、已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的表面积是．

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11、济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为 $30 °$ ，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为 $50 °$ ，则小明同学求出泉标的高度约为米.
（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.342$ ， $\sin 50 ° \approx 0.766$ ， $\sin 80 ° \approx 0.985$ ）

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12、已知向量 $\vec{B C} = (3, 1), \vec{A C} = (2, 3), \vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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13、如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（）

A、ED与NF所成的角为 $60 °$ B、 $C N / /$ 平面AFB C、 $B M / / D E$ D、平面 $B D E / /$ 平面NCF

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (7, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量仅有 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5 \sqrt{5}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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15、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P / /$ 平面 $C N D_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底，则向量 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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17、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的关系（）

A、共线 B、垂直 C、不垂直也不平行 D、都有可能

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18、已知复数 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a \geq e$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数，并证明结论；

(3)、不等式 $a f (x) + a^{2} (\ln x + \frac{1}{x}) \leq \ln x - x + 1$ 在 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、学校里的生物园地由矩形 $O A B C$ 与扇形 $O C D$ 组成， $O A = 2 m$ ， $A B = 2 \sqrt{3} m$ ， $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，生物园地从 $O$ 点出水喷洒灌溉，喷洒张角 $∠ E O F = \frac{π}{3}$ ，阴影部分为可灌溉范围，点 $E$ 在弧 $C D$ 上，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，设 $∠ F O C = θ$ ，可灌溉范围的面积为 $S$ .

(1)、求灌溉面积 $S$ 关于 $θ$ 的关系式，并求出 $θ$ 的范围；

(2)、求灌溉面积 $S$ 取得最大值时 $\sin θ$ 的值.

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