北京市西城区2016-2017学年高考文数二模考试试卷

试卷日期：2017-09-13 考试类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x∈R|﹣1＜x＜1}，B={x∈R|x•（x﹣2）＜0}，那么A∩B=（）

A、{x∈R|0＜x＜1} B、{x∈R|0＜x＜2} C、{x∈R|﹣1＜x＜0} D、{x∈R|﹣1＜x＜2}

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2. 设向量 $\vec{a}$ =（2，1）， $\vec{b}$ =（0，﹣2）．则与 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 垂直的向量可以是（）

A、（3，2） B、（3，﹣2） C、（4，6） D、（4，﹣6）

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3. 下列函数中，值域为[0，1]的是（）

A、y=x² B、y=sinx C、 $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$

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4. 若抛物线y²=ax的焦点到其准线的距离是2，则a=（）

A、±1 B、±2 C、±4 D、±8

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5. 设a，b≠0，则“a＞b”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{matrix} \sqrt{3} x - y \leq 0 \\ x - \sqrt{3} y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{3}$

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7. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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8. 函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）

A、（2，+∞） B、（1，+∞） C、（ $\frac{1}{2}$ ，+∞） D、（ $\frac{1}{4}$ ，+∞）

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二、填空题

9. 在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ = ．

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10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．

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11. 在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，b=1，则c的值为．

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12. 已知圆O：x²+y²=1．圆O'与圆O关于直线x+y﹣2=0对称，则圆O'的方程是．

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13. 函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} ， x \leq 0 \\ l o g_{2} x ， x > 0. \end{matrix}$ 则 $f (\frac{1}{4})$ =；方程f（﹣x）= $\frac{1}{2}$ 的解是．

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14. 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ ．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β是锐角，且 $f (β) = 2 s i n (β + \frac{π}{4})$ ，求β的值．

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16. 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间
频数
[0，10）
2
[10，20）
3
[20，30）
5
[30，40）
15
[40，50）
40
[50，60]
35
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
（Ⅱ）从对B餐厅评分在[0，20）范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10）范围内的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

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17. 设{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．记c_n=a_n+b_n ， n=1，2，3，…．

(1)、若{c_n}是等差数列，求q的值；

(2)、求数列{c_n}的前n项和S_n ．

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18. 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED= $\sqrt{3}$ ．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．
（Ⅰ）求证：ED⊥CD；
（Ⅱ）求证：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出 $\frac{F M}{F C}$ 的值；若不能，说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x - 2} + l n x$ ，其中a∈R．
（Ⅰ）给出a的一个取值，使得曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）存在极小值和极大值，证明：f（x）的极小值大于极大值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ ．直线y= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x+m与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．

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B餐厅分数频数分布表
分数区间	频数
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35