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1、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 $A B = 2, P$ 为弧 $A C$ （含端点）上的一点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C P}$ 的范围为．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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3、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是偶函数 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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4、已知 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（）

A、 $α // β, a \subset α, b \subset β \Rightarrow a // b$ B、 $a \subset α, b \cap α = A \Rightarrow a, b$ 为异面直线 C、 $a // b, a // α, b ⊄ α \Rightarrow b // α$ D、 $b // α, a \subset α \Rightarrow a // b$

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}$ ，则 $\frac{a^{2} + c^{2}}{a c}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6、若函数 $f (x) = ln [(a - 1) x + 1]$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $[\frac{2}{3}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 3, t)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8、 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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9、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 3) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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11、对于函数 $f (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x) = a f (2 x) + b f (x) + c$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f (x)$ 的“重组函数”

(1)、已知 $f (x) = e^{x} + 1$ ， $h (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x)$ 是 $f (x)$ 的重组函数？若存在，求出 $a$ ， $b$ ， $c$ ；若不存在，试说明理由．

(2)、当 $a = 1, b = - 2, c = - 3$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时，求 $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 的值域．

(3)、当 $a = 1, c = 2$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时， $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $α$ 是锐角，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5}$ ，求角 $α$ 的正弦值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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13、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 $60cm$ 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

(1)、求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

(2)、为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c - b = 2 b \cos A$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 1$ ，求 $a$ .

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15、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直?

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16、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = 10, b = 6, A = 120^{\circ}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心， $\vec{e}$ 为与 $\vec{C B}$ 同向的单位向量，则 $\vec{C I}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（用 $\vec{e}$ 表示）

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17、圆锥的侧面展开图是半径为 $R$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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18、角 $α$ 的终边上有一点 $P (3, - 2)$ ，则 $\sin α =$

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19、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $F G$ 与 $E B$ 是共面直线 B、如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、过 $A$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ 三点作一个截面，截得的几何体 $A_{1} - A B_{1} D_{1}$ 的体积 $\frac{4}{3}$ D、若在 $A D_{1}$ 上存在一点 $M$ 使得 $A_{1} M + M C$ 最小，最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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20、下列说法正确的是（）

A、空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件 B、在复数集 $C$ 中，方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个解，依次为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $A \in α, A \in β$ ，则 $α \cap β = A$ （ $α, β$ 为平面， $A$ 为点） D、 $\forall a \in R$ ，二次函数 $y = x^{2} + a$ $(x \in R)$ 为偶函数

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