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1、国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为 $63000 π$ 立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为 $r (r \geq 10)$ 米的圆锥，下部分是底面半径为 $r$ 米､高为 $h$ 米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为 $\sqrt{2} a$ 元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为 $a$ 元，设每个容器的制造总费用为 $y$ 元，则下面说法正确的是（）

A、 $10 \leq r < 40$ B、 $h$ 的最大值为 $\frac{1880}{3}$ C、当 $r = 21$ 时， $y = 7029 a π$ D、当 $r = 30$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $6300 a π$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ， $π$ 是圆周率， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(0, e)$ B、 $m > \frac{1}{e}$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 4$ ，则 $2 < x_{1} < e$ D、若 $a = e^{3}$ ， $b = 3^{e}$ ， $c = e^{π}$ ， $d = π^{e}$ ， $s = 3^{π}$ ， $t = π^{3}$ ，则 $s$ 最大

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3、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - 2 \ln 2$ B、 $- 2 \ln 2 - 2$ C、 $4 - 2 \ln 2$ D、 $- 2 \ln 2 - 4$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3}, a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ 或 $18$ B、 $- 18$ C、 $18$ D、2

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5、已知函数 $y = f (x)$ 的图像如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} n \sin \frac{n π}{2}$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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7、已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为 $a_{n}$ 的前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、20

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{7}}{b_{2} + b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{37}{13}$ B、 $\frac{111}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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9、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) cos 2 x + \sin x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 8, A C = 6, ∠ B A C = 90 °$ ， D是BC边的中点， $∠ A_{1} C A = 45 °$ ．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求证： $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} D$ ．

(3)、一只小虫从点 $A_{1}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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11、在 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} + b c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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13、已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ ， m为实数．

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z > 2$ ，求m的值；

(3)、若 $m = 0$ ﹐求 $| \frac{z}{1 - i} |$ 的值．

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14、已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的表面积是．

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15、济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为 $30 °$ ，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为 $50 °$ ，则小明同学求出泉标的高度约为米.
（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.342$ ， $\sin 50 ° \approx 0.766$ ， $\sin 80 ° \approx 0.985$ ）

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16、已知向量 $\vec{B C} = (3, 1), \vec{A C} = (2, 3), \vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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17、如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（）

A、ED与NF所成的角为 $60 °$ B、 $C N / /$ 平面AFB C、 $B M / / D E$ D、平面 $B D E / /$ 平面NCF

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (7, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量仅有 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5 \sqrt{5}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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19、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P / /$ 平面 $C N D_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底，则向量 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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