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1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，抛物线 $y^{2} = 3 x$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ． $O$ 为坐标原点，若 $△ A O F$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别棱 $B B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $A_{1} M ∥ C N$ B、 $A_{1} B_{1} ⊥ M C$ C、 $M N ⊥$ 面 $A A_{1} C_{1} C$ D、 $M N / /$ 面 $A_{1} B D$

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3、函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{6}) - \cos x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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4、遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一.2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（）

A、这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B、这100名顾客评分的中位数小于80分 C、 $a = 0.030$ D、这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间

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5、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(4, 0)$ C、 $(\frac{9}{2}, 0)$ D、 $(5, 0)$

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6、已知集合 $A = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $B = {x | - 2 < x < 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $[0, 1)$

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7、已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若 $| D E | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程；
（3）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得 $\frac{| Q A |}{| Q B |} = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = 2$ ，且 $b_{n}$ ， $a_{n}$ ， $b_{n + 1}$ 成等差数列， $a_{n}$ ， $b_{n + 1}$ ， $a_{n + 1}$ 成等比数列.

(1)、证明：数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、记 $c_{n} = \frac{1}{b_{n}} + \frac{1}{b_{n + 1}}$ ，且数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{3}{2}$ .

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9、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 与2的等差中项，等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 2$ ，点 $P (b_{n}, b_{n + 1})$ 在一次函数 $y = x + 2$ 的图象上．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $cos C = - \frac{1}{4}, c = 2 a$ .

(1)、求 $sin A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为18，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $a_{7} = 16$ ， $a_{3} a_{5} = 4$ ，则 $a_{2}$ 的值为.

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12、设直线 $l : 3 x + 4 y + a = 0$ ，与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ 交于 $A, B$ ，且 $|A B| = 6$ ，则 $a$ 的值是．

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13、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_{n}}{n} = - 1$ ， $S_{1} = 32$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $S_{3}$ ， $S_{6} - S_{3}$ ， $S_{9} - S_{6}$ 成等差数列，公差为 $- 9$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 16$ D、 $S_{n} \geq 0$ 时， $n$ 的最大值为32

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14、平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120^{\circ}, |\overset{⇀}{A B}| = 2, |\overset{⇀}{A D}| = 3,$ $\overset{⇀}{B E} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{B C}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D} =$

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $2$ D、 $- 2$

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15、如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　)

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $2 a_{4} + a_{8} + a_{16} = 24$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、45 B、90 C、180 D、240

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17、在中学数学教材的课后阅读中，我们知道任何一个一元n次方程都有n个复数根，这些根在复平面上对应着一个个的点，比如对于方程 $x^{3} = 1$ 来说，这个方程的3个复数根在复平面上对应的点就是 $(1, 0)$ ， $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 和 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．而且对于一个一元n次方程 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0} = 0$ ，如果该方程的根分别为 $z_{1}, z_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, z_{n}$ ，那么这个方程可以表示为 $a_{n} (x - z_{1}) (x - z_{2}) \cdot \cdot \cdot (x - z_{n}) = 0$ ，根据以上材料，回答下列问题：

(1)、直接写出方程 $x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0$ 与方程 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的复数根；

(2)、设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （a，b，c为复数且 $a \neq 0$ ），且方程 $f (x) = 0$ 有三个不同根 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ ，函数 $g (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ，且方程 $g (x) = 0$ 的根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$
（ⅰ）证明：若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ 的虚部均为正实数，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的虚部也为正实数（其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 与 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 不相等）；
（ⅱ）若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 和 $z_{3}$ 在复平面上所对应的点分别为A，B和C（且A、B、C三点不共线），证明： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 在复平面上的点始终在 $△ A B C$ 的内部．

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18、在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 满足： $A = \frac{π}{2}$ ， $B (1, 0)$ ，顶点 $A$ 始终在 $y$ 轴上，设 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A D / / x$ 轴，记点 $C$ 的运动轨迹为 $W$ ．

(1)、求 $W$ 的方程；

(2)、直线 $B C$ 与 $W$ 的另一交点为 $E$ ，求以 $C E$ 为直径的圆被 $y$ 轴截得的弧所对的圆心角的最大值．

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19、如图所示，多面体 $A B C D D_{1} E$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $D D_{1} ⊥$ 平面ABCD， $A D = D D_{1} = 2 C E = 2$ ， $C E / / D D_{1}$ ．

(1)、探究直线BE与平面 $A D D_{1}$ 是否有交点；

(2)、求直线 $A D_{1}$ 与平面 $B E D_{1}$ 所成角的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = ln x - a (x - 1)$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ， $|x_{1} - x_{2}| = 4$ ，求a；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 有且只有一个解，求a．

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