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1、已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x, x \in R$
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值
（2）求函数 $f (x)$ 最小正周期；
（3）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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2、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$

(2)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b} (k \in R)$ 垂直，求k的值．

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3、点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{A C}{C B} = \frac{3}{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ .

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4、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 是两个不共线的向量，且向量m $\overset{⃑}{a} -$ 3 $\overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} +$ （2﹣m） $\overset{⃑}{b}$ 共线，则实数m的值为（）

A、﹣1或3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣1或4 D、3或4

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5、已知函数 $f (x)$ 是区间 $D$ 上的可导函数，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in D$ ，若点 $A_{0} (a, f (a)) (a \in D)$ 与 $A_{n} (a_{n}, f (a_{n}))$ 所在直线的斜率存在，且与 $f (x)$ 的图象在 $x = a_{n + 1}$ 处的切线斜率相等，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $f (x)$ 的“ $a$ —和谐数列”.

(1)、若 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $D = (0, + \infty)$ ， $\{a_{n}\}$ 是 $f (x)$ 的“1—和谐数列＂，且 $a_{1} = 4$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $f (x) = x^{3} + 6 \sin x$ ， $D = (0, + \infty)$ .
①判断 $f (x)$ 在 $D$ 上的单调性；
②若 $\{a_{n}\}$ 是 $f (x)$ 的“ $a$ —和谐数列”，且 $a_{n + 1} \in (a, a_{n})$ ，求证： $\frac{a_{n + 1} - a}{a_{n} - a} > \frac{1}{2}$ .

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6、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点到两焦点 $F_{1}, F_{2}$ 距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P (2, 1)$ 为椭圆上一点，求 $△ P A B$ 的面积的最大值．

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 4}{a_{n} - 1}$

(1)、证明： $\{\frac{1}{a_{n} - 2}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{9^{n}}{(a_{n} - 2) \times 10^{n}}$ ，当数列 $\{b_{n}\}$ 的项取得最大值时，求 $n$ 的值．

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8、如图，已知平面四边形 $A B C D$ 存在外接圆，且 $A B = 5$ ， $B C = 2$ ， $\cos ∠ A D C = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $△ A D C$ 的周长的最大值．

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9、对于 $\forall b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{3 x} - (2 x + b) e^{x} - a$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A, F (c, 0)$ 是双曲线 $C$ 的右焦点，点 $P$ 在直线 $x = 2 c$ 上，且 $\tan ∠ A P F$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是．

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11、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义： $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 12 x + \frac{49}{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{137}{6}$ B、 $f (x)$ 有且仅有2个零点 C、点 $(\frac{1}{2}, 2)$ 是 $f (x)$ 的对称中心 D、 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{2}{2024}) + f (\frac{3}{2024}) + \cdot \cdot \cdot f (\frac{2023}{2024}) = 4046$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d > 0$ ，且 $S_{18} = S_{25}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $a_{1} + a_{43} = 0$ C、当 $S_{n}$ 取得最小值时， $n$ 的值为22 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为44

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ 成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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14、已知 $A, B$ 均为钝角， $\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos (A + \frac{π}{3}) = \frac{5 - \sqrt{15}}{10}$ ，则 $A + B =$ （）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{7 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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15、函数 $f (x)$ 在定义域内可导且导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ，且复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$

A、 $1 + i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $1 + \frac{4}{3} i$

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17、已知集合 $A = \{x| 2^{x} \geq 4\}$ ， $B = \{x| 0 < x < \sqrt{3}\}$ ，则有（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $B \subseteq A$

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18、已知 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1), | \vec{b} | = 2, 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 30^{°}$ ，记 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ．

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{c} |$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} - \frac{λ}{3} \vec{c})$ 与 $(λ \vec{a} - 4 \vec{c})$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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19、某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

(1)、估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；

(2)、国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.

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20、设向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin x, \sin x + \cos x)$ ， $\vec{n} = (2 \cos x, \sin x - \cos x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $a = 2$ ， $sin B + sin C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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