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1、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a \sin A + c \sin C = b \sin B + a \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、求 $a c$ ；

(3)、若 $a - c = 1$ ，求b．

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2、设有限项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 ${(x - 2)}^{8} = a_{1} + a_{2} x + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{8}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前7项和为， $\{(n - 1) a_{n}\}$ 的前7项和为．

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3、已知双曲线C： $a x^{2} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，且C与直线 $x = 2$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ ．

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4、某上市互联网科技公司为节省开支采用了裁员的手段，统计得到近7个月内每月的裁员人数如下：1，2，2，3，4，5，6，则该组样本数据的上四分位数是．

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5、设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) - 1 (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, a)$ 中心对称， $f (0) = a + 1$ ，记 $f (x)$ 的最小正周期为T，且 $2 π < T < 4 π$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $ω = \frac{11}{8}$ C、 $f (\frac{8 π}{3}) = 2 f (\frac{4 π}{3})$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 内最多存在两个极值点

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6、某地质考察队在一片区域内发现了五处具有研究价值的地质构造点，依照初步判断的研究价值高低，分别标记为1，2，3，4，5号点位，每次考察时，随机选择一处地质构造点进行深入研究，选择各点位的概率与该点标记的序号成正比，比例系数为k，设随机变量G表示选择的地质构造点编号，则（）

A、 $k = \frac{1}{15}$ B、 $P (G = 5) = 0.3$ C、 $E (G) = \frac{11}{3}$ D、 $P (G \leq 3) < P (G \geq 4)$

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7、已知向量 $\vec{m} = (2, 2)$ ， $\vec{n} = (- 1, - 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $(\vec{m} - \vec{n}) / / \vec{n}$ C、 $|\vec{m}| = 2 |\vec{n}|$ D、 $⟨\vec{m}, \vec{n}⟩ = 180 °$

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8、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{3} \ln \frac{x + b}{x}$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，则 ${(2025 b)}^{a} =$ （）

A、1 B、2025 C、 $- 4050$ D、 $- 2025$

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9、若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ 上，则c的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10、已知 $a > 0$ ，且 $\frac{2}{a}$ 是方程 $x^{2} + b x - 8 = 0$ 的一个根，则 $b + \frac{6}{a}$ 的最小值是（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、4 C、2 D、8

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11、已知 $a$ 为整数，全集 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, a^{2} - 1\}$ ， $B = \{- 1, 3, a + 1, a^{2}\}$ ，设甲： $a \in B$ ；乙： $A \subseteq B$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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12、已知一组数据0，7，2，1，从1到10中的整数里随机选择1个数加入这组数据，则得到的新数据与原数据极差相同的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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13、某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（）

A、 $7 \times 10^{4}$ 立方厘米 B、 $7.5 \times 10^{4}$ 立方厘米 C、 $8 \times 10^{4}$ 立方厘米 D、 $8.5 \times 10^{4}$ 立方厘米

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14、已知 $1, a, 4 a - 4$ 成等比数列，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、1

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15、已知 $\cos α = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、1 B、0 C、 $- \frac{15}{16}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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16、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $P$ 为正方形内一点.
（1）如图1
（i）求 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B C} + \overset{⃑}{P C} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值；
（ii）求 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{B P} \cdot \overset{⃑}{B C} + \overset{⃑}{C P} \cdot \overset{⃑}{C D} + \overset{⃑}{D P} \cdot \overset{⃑}{D A}$ 的值；
（2）如图2，若点 $M, N$ 满足 $\overset{⃑}{D M} = 2 \overset{⃑}{M A}, \overset{⃑}{B N} = 2 \overset{⃑}{N C}$ .点 $P$ 是线段 $M N$ 的中点，点 $Q$ 是平面上动点，且满足 $2 \overset{⃑}{P Q} = λ \overset{⃑}{P A} + (1 - λ) \overset{⃑}{P B}$ ，其中 $λ \in R$ ，求 $\overset{⃑}{Q M} \cdot \overset{⃑}{Q N}$ 的最小值.

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17、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄 $O$ （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为 $\frac{π}{6}$ （即 $∠ A O B$ ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ 且点 $A$ ， $B$ 落在小路上，记弓形花园的顶点为 $M$ ，且 $∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ O B A = θ$ .

（1）将 $O A$ ， $O B$ 用含有 $θ$ 的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在 $M$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 $O A$ ， $O B$ 长度），才使得喷泉 $M$ 与山庄 $O$ 距离即值 $|O M|$ 最大？

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18、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90^{°}$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ，对角线 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，且满足 $O M ⊥ B D$ .
(1)求 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值；
(2)若 $N$ 为线段 $A C$ 上任意一点，求 $\overset{⇀}{A N} \cdot \overset{⇀}{M N}$ 的最小值.

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19、已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} + 3 m - 28) i$ 在复平面内对应的点：
（1）位于第四象限?
（2）在实轴负半轴上?
（3）位于上半平面(含实轴)?

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20、某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（ $i$ 是虚数单位）．
① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ；② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ；③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ ．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式．

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