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1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，终边在第三象限.则（）

A、 $s i n α - c o s α \leq t a n α$ B、 $s i n α - c o s α \geq t a n α$ C、 $s i n α \cdot c o s α < t a n α$ D、 $s i n α \cdot c o s α > t a n α$

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2、已知函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}} (- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2})$ 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 $θ (0 \leq θ \leq π)$ 弧度，若得到的图像仍是函数图象，则 $θ$ 可取值的集合为.

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3、通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\begin{array}{l} \frac{坡屋面高度半径}{半坡宽度} = 0.57 \pm 0.3 \end{array}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\overset{⌢}{A C}$ 所对的圆心角 $θ = \frac{π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径为4， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则（）

A、 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ B、 $A C = 2 \sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为 $4 \sqrt{3}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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4、质点A ， B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线 $y = \sqrt{3} x$ （ $x \geq 0$ ）与圆O的交点处，点A的角速度为 $1 r a d / s$ ，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为 $2 r a d / s$ ，则下列说法正确的是（）

A、在 $2 s$ 末时，点B的坐标为 $(- c o s 4, - s i n 4)$ B、在 $2 s$ 末时，劣弧 $A B$ 的长为 $2 - \frac{π}{3}$ C、在 $5 π s$ 末时，点A与点B重合 D、当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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5、出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ $S$ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）： $A B \approx 8 c m, A D \approx 2 c m, A O \approx 5 c m$ ，若 $s i n 3 7^{°} \approx \frac{3}{5}, π \approx 3.14$ ，则璜身（即曲边四边形 $A B C D$ ）面积近似为（）

A、 $6.8 c m^{2}$ B、 $9.8 c m^{2}$ C、 $14.8 c m^{2}$ D、 $22.4 c m^{2}$

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6、已知 $α$ 是第二象限角，且其终边经过点 $(- 3, 4)$ ，则 $t a n \frac{α}{2} =$ ．

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7、已知角 $α, β$ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，且 $s i n (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $α, β$ 的一组取值可以是 $α =$ ， $β =$ .

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8、下列说法正确的是（）

A、轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为 $\sqrt{2} π$ B、若 $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $\sqrt{1 - 2 s i n (\frac{π}{2} + α) s i n (π - α)} = s i n α - c o s α$ C、已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2, 1)$ ，则 $t a n (α + β) = 1$ D、在 $- 360 ° ∼ 360 °$ 范围内，与 $- 410 °$ 角终边相同的角是 $310 °$ 和 $- 50 °$

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9、下列说法正确的是（）

A、“ $α$ 为第一象限角”是“ $\frac{α}{2}$ 为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B、“ $α = \frac{π}{6} + 2 k π$ ， $k ∈ Z$ ”是“ $s i n α = \frac{1}{2}$ ”的充要条件 C、设 $M = {α | α = k π \pm \frac{π}{4}, k \in Z}$ ， $N = {α | α = \frac{k π}{4}, k \in Z}$ ，则“ $θ \in M$ ”是“ $θ \in N$ ”的充分不必要条件 D、“ $s i n θ > 0$ ”是“ $t a n \frac{θ}{2} > 0$ ”的必要不充分条件

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10、集合 $A = {x | - \frac{3 π}{2} \leq x < \frac{3 π}{2}}$ ， $B = {x | x = k π + \frac{π}{2}, k \in Z}$ ， $C = A ∩ B$ ，则集合 $C$ 中的元素个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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11、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R ， A ， B ， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{6} c o s B = (3 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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13、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $s i n A = s i n B$ ，且 $\sqrt{3} (a c o s B + b c o s A) = 2 c s i n C$ ， D是 $△ A B C$ 外一点且B、D在直线AC异侧， $D C = 2$ ， $D A = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $A C = 2 \sqrt{13}$ ，则A ， B ， C ， D四点共圆 C、四边形ABCD面积的最小值为 $10 \sqrt{3} - 12$ D、四边形ABCD面积的最大值为 $10 \sqrt{3} + 12$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{t a n B}{t a n C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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15、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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16、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 a s i n B$ ， $b c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、若 $△ A B C$ 的三个内角为 $A, B, C$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $s i n A, s i n B, s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $s i n 2 A, s i n 2 B, s i n 2 C$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A, s i n^{2} B, s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A}, \sqrt{s i n B}, \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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19、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 9, b = 8, c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{225}{11} π$ B、 $\frac{125}{11} π$ C、 $\frac{123}{6} π$ D、 $\frac{113}{6} π$

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20、已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘} ，$ $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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