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1、在△ABC中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{b}{c} \cos B + \frac{b^{2}}{c^{2}} \cos C = 1$ ．

(1)、证明： $c^{2} = a b$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $π$ ，且 $a^{2} - 2 b^{2} = 4 \sin^{2} C$ ，求△ABC的面积．

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2、已知 $f (x) = a x - \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的图像在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x \in [1, e]$ 时， $f (x) > 0$ ，求a的取值范围．

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3、用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如 $[3] = 3$ ， $[1.2] = 1$ ， $[- 1.3] = - 2$ ．已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则 $[\frac{a_{1}}{2 + a_{1}} + \frac{a_{2}}{2 + a_{2}} + \dots + \frac{a_{2024}}{2 + a_{2024}}] =$ .

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4、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $A C = 2 A B$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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5、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N$ ．将 $△ A M N$ 沿直线 $l$ 翻折至 $△ A^{'} M N$ ，且点 $A^{'}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 在线段 $B C$ 上，连接 $A H$ 交 $l$ 于点 $O$ ， $D$ 是直线 $l$ 上异于 $O$ 的任意一点，则（）

A、 $∠ A^{'} D H \geq ∠ A^{'} D C$ B、 $∠ A^{'} D H \leq ∠ A^{'} O H$ C、点 $O$ 的轨迹的长度为 $\frac{π}{6}$ D、直线 $A^{'} O$ 与平面 $B C M N$ 所成角的余弦值的最小值为 $8 \sqrt{3} - 13$

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7、数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} + 1$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 1$ C、 $a_{n} = 2 |\sin \frac{n π}{2}|$ D、 $\{\begin{array}{l} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = 2 - a_{n} \end{array}$

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8、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上， $\vec{C B} = 4 \vec{F_{2} A}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B C$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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9、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 $3 \sqrt{6}$ 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）

A、 $36 \sqrt{3}$ B、 $48 \sqrt{3}$ C、 $72 \sqrt{3}$ D、 $96 \sqrt{3}$

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10、 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、15 B、60 C、 $- 160$ D、240

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11、 $\vec{a} = (- 1, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ， $\vec{c} = (- 3, 5, k)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数k为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知 $1 + 2 i$ 是关于复数z的方程 $z^{2} - m z + n = 0$ （m， $n \in R$ ）的一根，则 $m + n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为 $5n mile$ ，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5} n mile$ ．小岛 $A$ 对小岛 $B$ 与 $D$ 的视角为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛 $D$ 对小岛 $B$ 与 $C$ 的视角为 $α$ ，小岛 $B$ 对小岛 $C$ 与 $D$ 的视角为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ．点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $B C$ ， $P D$ 的中点．
（1）证明： $E F //$ 平面 $P A B$ ．
（2）若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求点 $F$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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15、在① $2 a + b = 2 c \cos B$ ， ② $\sqrt{3} c \cdot \cos A - a \sin C = \sqrt{3} b$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________.

(1)、求角C；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

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16、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(3)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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17、已知球 $O$ 是圆锥 $P O_{1}$ 的外接球，圆锥 $P O_{1}$ 的母线长是底面半径的 $3$ 倍，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，则圆锥 $P O_{1}$ 的侧面积为.

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18、函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} + 4 x) + \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 的最大值为.

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19、若向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为.

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $i$ C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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