江西省赣州市2016-2017学年高一下学期期末数学考试试卷

试卷日期：2017-09-14 考试类型：期末考试

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一、选择题

1. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记 $\vec{B C}$ = $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{B A}$ = $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{C D}$ =（）

A、﹣ $\vec{e_{1}}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ B、﹣ $\vec{e_{1}}$ + $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}}$ + $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$

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2. 如果a＞0＞b且a+b＞0，那么以下不等式正确的个数是（）
①a²b＜b³；② $\frac{1}{a}$ ＞0＞ $\frac{1}{b}$ ；③a³＜ab²；④a³＞b³ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 若直线（a+1）x﹣y+1﹣2a=0与（a²﹣1）x+（a﹣1）y﹣15=0平行，则实数a的值等于（）

A、1或﹣1 B、1 C、﹣1 D、不存在

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4. 已知数列1，a₁ ， a₂ ， 4成等差数列，1，b₁ ， b₂ ， b₃ ， 4成等比数列，则 $\frac{a_{2} - a_{1}}{b_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. △ABC中，AB= $\sqrt{3}$ ， AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$

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6. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₂=4，S₄=16，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n₊₁ ，则数列{b_n}的前9和T₉为（）

A、20 B、80 C、166 D、180

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2 ， x \leq 0 \\ - x + 2 ， x > 0 \end{matrix}$ ，则不等式f（x）≥x²的解集是（）

A、[﹣1，1] B、[﹣2，2] C、[﹣2，1] D、[﹣1，2]

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8. 已知点（1，﹣2）和（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

A、（ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}$ ） B、（ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ） C、（ $\frac{2 π}{3}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ） D、（0， $\frac{π}{3}$ ）∪（ $\frac{3 π}{4}$ ，π）

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9. 数列1， $\frac{1}{1 + 2}$ ， $\frac{1}{1 + 2 + 3}$ ，…， $\frac{1}{1 + 2 + \dots + n}$ 的前n项和为（）

A、 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ B、 $\frac{2 n}{n + 1}$ C、 $\frac{n + 2}{n + 1}$ D、 $\frac{n}{2 n + 1}$

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10. 已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量 $\vec{O A} 、 \vec{O B}$ 满足 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B |}$ ，则实数a的值（）

A、2 B、﹣2 C、 $\sqrt{6}$ 或﹣ $\sqrt{6}$ D、2或﹣2

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11. 已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x²）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，1） B、[﹣2，0] C、（﹣2﹣2 $\sqrt{2}$ ，﹣2+2 $\sqrt{2}$ ） D、[0，1]

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二、填空题

13. △ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为．

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14. 设x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq x \\ 4 x + 3 y \leq 12 \end{matrix}$ 则 $\frac{y + 1}{x + 1}$ 取值范围．

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15. G在△ABC所在平面上有一点P，满足 $\vec{P A}$ + $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ = $\vec{A B}$ ，则△PAB与△ABC的面积之比为．

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16. △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
⑵sinA=2cosBsinC
⑶b=acosC，c=acosB
⑷ $2 R (s i n^{2} A - s i n^{2} C) = (\sqrt{2} a - b) s i n B$
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ =（3，4）， $\vec{b}$ =（﹣1，2）．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{a}$ ﹣λ $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 平行，求λ的值．

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18. 已知关于x的不等式ax²﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、解关于x的不等式： $\frac{x - c}{a x - b}$ ＞0（c为常数）．

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19. 设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2 $\sqrt{2}$ ，求圆的方程．

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20. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m}$ =（c+a，b）， $\vec{n}$ =（c﹣a，b﹣c），且 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若a=3，求△ABC周长的取值范围．

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21. 已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．

(1)、求证：直线l恒过定点；

(2)、当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；

(3)、若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

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22. 已知等比数列{a_n}满足a₁=2，a₂=4（a₃﹣a₄），数列{b_n}满足b_n=3﹣2log₂a_n ．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n；

(3)、若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ²﹣kλ+2＞a_2nb_n成立的k的取值范围．

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