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1、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $B D ⊥ C D$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的余弦值．

(3)、在（2）的条件下，求平面 $P B M$ 与平面 $B M D$ 所成二面角的余弦值．

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2、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c - a \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin B$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4)$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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4、已知 $|\vec{b}| = 3, \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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5、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 1, b = 2, \cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin A =$ ．

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于直线 $A C$

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7、设 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $6 + \sqrt{7}$ B、 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{7}{3} π$ D、 $△ A B C$ 中线 $C D$ 长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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8、已知 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）

A、 $z_{1} z_{2} = |z_{1} z_{2}|$ B、 $z_{1}^{2} < {|z_{2}|}^{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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9、在 $△ A B C$ 中，若动点 $P$ 满足 ${\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{C B} \cdot \vec{A P} = {\vec{A B}}^{2}$ ，则 $P$ 点的轨迹一定经过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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10、一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $35 °$ 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 $65 °$ ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 $70 °$ ，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、 $20 \sqrt{2}$ 海里

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11、已知 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $\cos C$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、已知 $a, b, c$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α, a ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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13、如图，已知 $\overset{⃑}{A P} = \frac{4}{3} \overset{⃑}{A B}$ ，用 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}$ 表示 $\overset{⃑}{O P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$

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14、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、1

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对一切 $n \in N$ ， $n \geq 1$ ，点 $(n, \frac{S_{n}}{n})$ 都在函数 $f (x) = x + \frac{a_{n}}{2 x}$ 图象上.

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，归纳数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式（不必证明）：

(2)、将数列 $\{a_{n}\}$ 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为 $(a_{1})$ 、 $(a_{2}, a_{3})$ 、 $(a_{4}, a_{3}, a_{6})$ 、 $(a_{7}, a_{8}, a_{0}, a_{10})$ 、 $(a_{11})$ 、 $(a_{12}, a_{13})$ 、 $(a_{14}, a_{15}, a_{16})$ 、 $(a_{17}, a_{18}, a_{19}, a_{20})$ 、 $(a_{21})$ 、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为 $\{b_{n}\}$ ，求 $b_{5} + b_{100}$ 的值；

(3)、设 $A_{n}$ 为数列 $\{\frac{a_{n} - 1}{a_{n}}\}$ 的前n项积，若不等式 $A_{n} \sqrt{a_{n} + 1} < f (a) - \frac{a_{n} + 3}{2 a}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 都成立，求a的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = \ln x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a < e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的零点个数

(2)、记函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的最小值为m，求 $G (x) = e^{x} - e^{m} \ln x$ 的最小值.

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17、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 D C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C \cap B D = F$ 且 $△ P A D$ 与 $△ A B D$ 均为正三角形，G为 $△ P A D$ 的重心.
（1）求证： $G F //$ 平面PDC；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

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19、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $(2 b - a) cos C = c \cdot cos A$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c^{2} = 2 a b, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a + b$ 的值.

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) + f^{'} (x) =$ $e^{x} - e^{- x} + 2 x e^{x}$ ，则不等式 $f (x) + \frac{x}{e^{x}} < e$ 的解集为.

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