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1、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2, a_{1} = 0, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、证明： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(3)、求数列 $\{n a_{n} + 2 n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知 ${(1 + 2 x)}^{m} + {(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}, m, n \in N_{+}, m \leq n$ ，且 $a_{1} - a_{0} = 2$ .

(1)、求 $2 m - n$ ；

(2)、若 $m + 1 = n$ ，求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}$ .

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值5.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求与直线 $l : x - 12 y + 3 = 0$ 垂直，并与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线的方程.

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4、3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.

(1)、共有多少种不同的安排方案?

(2)、若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案?

(3)、若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案?

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，若第一象限内的点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，则 $P$ 到直线 $l : 4 x - y - 4 = 0$ 的距离的最小值为.

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6、在集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 的子集中，含有3个元素的子集的个数为.

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} + a_{11} + a_{13} = 56$ ，则 $a_{8} =$ .

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8、平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（）

A、这两组平行线有70个交点 B、这两组平行线可以构成140条射线 C、这两组平行线可以构成525条线段 D、这两组平行线可以构成945个平行四边形

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9、若 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 各项的二项式系数之和为32，则（）

A、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式共有5项 B、 $C_{n}^{1} = C_{n}^{4}$ C、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的常数项为40 D、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的第5项的系数为5

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10、下列函数求导错误的是（）

A、 ${(e^{3})}^{'} = e^{3}$ B、 $(x ln x)^{'} = ln x + 1$ C、 ${(\frac{2^{x}}{x + 1})}^{'} = \frac{x 2^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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11、 $7^{2026}$ 被5除所得的余数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的 $60 %, 40 %$ ，甲、乙车间的优品率分别为 $95 %, 90 %$ ．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（）

A、 $93 %$ B、 $93.5 %$ C、 $94 %$ D、 $94.5 %$

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13、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} = 1, a_{6} = 3$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、81 B、243 C、9 D、27

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14、一质点A沿直线运动，其位移（单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y (t) = 2 t^{2} + t$ ，则A在 $t = 2$ 的瞬时速度为（）

A、 $7 m / s$ B、 $8 m / s$ C、 $9 m / s$ D、 $10 m / s$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} - 1}$ ，且 $a_{1} = 3$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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16、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (11 + Δ x) - f (11)}{3 Δ x} =$ （）

A、 $3 f^{'} (11)$ B、 $\frac{1}{3} f^{'} (11)$ C、 $f^{'} (11)$ D、 $- f^{'} (11)$

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17、从15名男生、10名女生中选1人参加比赛，则不同的选法共有（）

A、25种 B、150种 C、20种 D、100种

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18、拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，我们将 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“中值点”．已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2} - t x + 1$ ， $F (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的中值点的个数；

(2)、若对于区间 $(0, 1)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| > |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ 成立，求实数t的取值范围．

(3)、当 $t > 0$ 且 $t \neq 1$ 时，证明： $\frac{t - 1}{\ln t} - \ln t \geq 2 - 2 \ln 2$ ．

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{2}, 1)$ ．直线 $y = k x + m$ 与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线 $y = k x - 1$ 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线OP的斜率为 $k_{0}$ ，求证： $k \cdot k_{0}$ 为定值；

(3)、求△PAB面积的最大值．

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20、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n}$ ；

(3)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $λ \cdot 2^{n - 8} + 2 \geq T_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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