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1、已知函数 $f (x) = a e^{x} + (a - 1) x + e^{- x}$ （ $a \in R, e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求a的取值范围．

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2、已知实数 $a > 0, b \in R$ ，且函数 $f (a, b) = \sqrt{{(a - 2 b)}^{2} + 4 {(\ln a - b^{2})}^{2}} + 2 b^{2}$ ，则函数 $f (a, b)$ 的最小值为．

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3、将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有种（结果用数字作答）．

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4、已知随机变量X服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $P (4 < X < 6) = 0.4$ ，则 $P (X > 2) =$ ．

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5、有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前 $n$ 次所得的数字之和是偶数的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{13}{25}$ B、 $P_{7} > P_{8}$ C、 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 是等比数列 D、 $\{P_{2 n}\}$ 是递减数列

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6、“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A、2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B、 $C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ C、记第10行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{11} (i - 1) a_{i} = 5120$ D、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} 4^{i - 1} a_{i} = 5^{n}$

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7、已知随机变量 $X, Y$ 满足 $X \sim B (4, p)$ ，且 $P (X = 0) = \frac{16}{81}$ ，且 $X + 2 Y = 1$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (Y) = - \frac{1}{6}$ C、 $D (X) = \frac{8}{9}$ D、 $D (Y) = \frac{2}{9}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} - \frac{S_{n}}{n^{2}} = a_{n - 1} - \frac{S_{n - 1}}{n^{2}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，且关于n的不等式 $λ 2^{n} a_{n} < n (3 n - 1)$ 有3个解，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{21}{8}, \frac{55}{16})$ B、 $(\frac{119}{64}, \frac{21}{8}]$ C、 $[\frac{55}{16}, \frac{15}{4})$ D、 $(2, \frac{21}{8}]$

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9、2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）

A、132 B、144 C、150 D、168

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10、已知函数 $f (x) = | \ln x |, x_{1} 、 x_{2}$ 为不相等的两个实数，则“ $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ”是“ $f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 3 \ln x$ 在 $(a, 2 - 3 a)$ 内有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{3}$ B、 $0 \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < a < 1$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、36 C、54 D、60

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13、已知可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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14、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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15、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（）

A、1120 B、160 C、 $- 120$ D、 $- 160$

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16、已知直线 $l : y = k x + 1$ 与抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、过点 $A, B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交抛物线 $Γ$ 于 $D, C$ 两点.
（i）求四边形 $A B C D$ 面积的最小值；
（ii）试判断直线 $l$ 与直线 $C D$ 的交点 $Q$ 是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

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17、平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = \frac{1}{2} A B = 2, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $P D E$ 位置时， $P C = 4$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的两个动点，且 $E F = 1$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ C、在线段 $A D$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $E F G$ D、平面 $E F G$ 截正方体的外接球的截面面积为 $\frac{13}{9} π$

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19、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, c^{2} = a^{2} - b^{2})$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 c x = 0$ 的切线与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{F B} = 2 \vec{A F}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C$ 边上的中点为 $M$ ，点 $N$ 是边 $A C$ 上的动点（不含端点）， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ B A M$ 的正弦值；

(2)、当点 $N$ 为 $A C$ 中点时，求 $∠ M P N$ 的余弦值．

(3)、当 $\vec{N A} \cdot \vec{N B}$ 取得最小值时，设 $\vec{B P} = λ \vec{B N}$ ，求 $λ$ 的值．

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