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1、已知直线 $l_{1} : 2 x + 3 y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + (m + 1) y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、1

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2、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的长半轴长等于其焦距，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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3、已知直线 $l$ 经过点 $M (- 1, 0)$ ， $N (0, 7)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $7 x + y + 7 = 0$ B、 $7 x + y - 7 = 0$ C、 $7 x - y - 7 = 0$ D、 $7 x - y + 7 = 0$

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4、已知圆 $C$ ： ${(x + 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 49$ 和点 $A (0, - 4)$ ， $B (0, 2)$ ，若点 $M$ 在圆 $C$ 上，且 ${|A M|}^{2} + {|B M|}^{2} = m^{2}$ ，则实数 $m$ 的最小值是．

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5、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，试写出一个半径为1，且与 $x$ 轴和圆 $C$ 都相切的圆的标准方程：.

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2 n + 1$ ，若 $a_{3} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = 2^{n} - 1$ ，在其相邻两项 $a_{k}, a_{k + 1}$ 之间插入 $2^{k}$ 个 $3 (k \in N^{*})$ ，得到新的数列 $\{b_{n}\}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使 $S_{n} \geq 100$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、28 B、29 C、30 D、31

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8、经过椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{7}$ C、2 D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{7}$

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9、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若圆 ${(x - a - 1)}^{2} + {(y - 3 a + 2)}^{2} = 4$ 上存在点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 5$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $[- 3, 2]$

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10、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, x, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、5

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11、直线 $l$ 过点 $A (- 4, \sqrt{3})$ ， $B (- 1, 0)$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 5$ ， $a_{6} = 3$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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13、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点 $F$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上， $O$ 为圆心，点 $C$ 在半径 $O B$ 上（不与 $O$ 点重合），且 $O F ⊥ A B$ ．设 $A C = a, B C = b$ ，则 $O C =$ （用 $a, b$ 表示），由 $F C > O F$ 可以得出的关于 $a, b$ 的不等式为．

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14、已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 $α \in$ .

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15、函数 $y = a^{x - 1} + 3 (a > 0 且 a \neq 1)$ 恒过定点．

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16、若命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\{m| m \leq - 1\}$ B、 $\{m| m \geq - 1\}$ C、 $\{m ∣ - 1 \leq m \leq 1\}$ D、 ${m| m > - 1}$

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17、已知某扇形的半径为 $4 cm$ ，圆心角为 $2 rad$ ，则此扇形的面积为（）

A、 $16 {cm}^{2}$ B、 $12 m^{2}$ C、 $8 {cm}^{2}$ D、 $4 {cm}^{2}$

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18、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，若 $f (x - 2) \geq f (x + 4) - 6$ ， $f (x + 2) - f (x - 1) \geq 3$ ， $f (3) = 2$ ，则 $f (2025)$ = ．

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20、甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为．

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