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1、若 $F$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点，过原点的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\frac{1}{| F A |} - \frac{4}{| F B |}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{5}, \frac{1}{4}]$ B、 $[- \frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$ C、 $(- \frac{1}{4}, 0]$ D、 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{5}]$

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2、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 和双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的公切线 $P Q$ （ $P$ 是 $P Q$ 与抛物线的切点），与抛物线的准线交于 $Q$ ， $F$ 为抛物线的焦点，若 $|P Q| = \sqrt{2} |P F|$ ，则抛物线的方程是（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 6 y$ C、 $x^{2} = 2 \sqrt{2} y$ D、 $x^{2} = 2 \sqrt{3} y$

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3、若直线l的方向向量是 $(1, \sin θ)$ ，则直线l的倾斜角 $α$ 的范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $[0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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4、向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{5}{6}, - \frac{5}{3}, \frac{5}{6})$ C、 $(2, - 2, 4)$ D、 $(2, - 4, 2)$

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5、在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， M，N分别为 $E E_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，平面CMN与直线 $D D_{1}$ 交于点G，则 $D_{1} G =$ ；点A到平面CMN的距离为．

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6、已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为 $1.53 \times 10^{8} km$ ， $1.47 \times 10^{8} km$ ，则这个椭圆的离心率为．

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7、与圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$ 都相切的直线有条．

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8、如图，正方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，G，E分别是 $C C_{1}$ ， $A B$ 的中点， $P$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 内一动点， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，若直线 $A P$ 与平面 $E F G$ 没有公共点，则线段 $A P$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{35}}{5}$

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9、已知A，B分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（）

A、 $\frac{b}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} b}{2}$ C、 $\frac{3 b}{5}$ D、 $\frac{4 b}{5}$

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10、如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为 $\frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12}$ ，则该正二十面体的内切球的半径为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{12}$

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11、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，点A，B分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ 于点C， $B D ⊥ l$ 于点D．若 $A C = 5$ ， $B D = 6$ ， $A B = 2 \sqrt{15}$ ．则 $C D =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{30}$

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12、直线 $l : y = x$ 与圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{14}$

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13、已知 $α$ ， $β$ 是两个互相平行的平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的三条直线，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则（）

A、 $l ⊥ n$ B、 $m ⊥ n$ C、 $l / / n$ D、 $m // n$

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14、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + 2 \vec{c}$ 构成空间另一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{c}$

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15、已知直线 $x + y + m - 1 = 0$ 与直线 $3 x + (m + 2) y + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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16、如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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17、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $O P$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $|P M| \cdot |P N| =$ .

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18、已知 $1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $5$ 个数的平均数为 $3$ ，方差为 $2$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $4$ 个数的方差为．

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19、两平行直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y + a = 0$ 的距离为.

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20、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点O是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}})$ B、 $|\vec{A O}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $A O ⊥ B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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