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1、如图

(1)、操作与探究：如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG＝10．
①第一次折叠：当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求折痕GF的长；
②第二次折叠：当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

(2)、拓展延伸：通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝13．如图3所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A^'处，折痕为PQ．当点A^'在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A^'在BC边上可移动的最大距离是．

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2、亮亮学习《平行四边形》以后，利用身边的工具进行了如下操作与探究：如图1，在边长为 $4 \sqrt{2}$ 的正方形纸板ABCD上，放置了一个三角板PEQ，作射线AC，使直角顶点E在射线AC上运动，EP始终经过点D，EQ交BC于点F．
依照上面操作，点E运动到如图2位置时，连接DE，EF，过点F作FG⊥EF于点F，过点D作DG⊥FG于点G，于是得到矩形DEFG，通过证明它的一组邻边相等，易证矩形DEFG为正方形，亮亮又作了如下思考，请你帮他完成以下问题：

(1)、若点E运动到线段AC的延长线上时，以上结论还成立吗？若成立，应该怎样画图，证明呢？若不成立，理由是什么？

(2)、在（1）的情况下，若连接CG，CG﹣CE的值是否为定值？若是，结果是多少（直接写出结果即可）？若不是，理由是什么？

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3、如图，△ABC内接于⊙O，点E是△ABC的内心，AE的延长线交⊙O于点D．

(1)、求证：CD＝ED．

(2)、连接OE，已知 $B C = 4 \sqrt{2}, s i n ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $O E / / B C$ ，求AD的长.

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4、已知在梯形ABCD中， $A D / / B C, A B = B C, D C ⊥ B C$ ，且 $A D = 1, D C = 3$ ，点 $P$ 为边AB上一动点，以 $P$ 为圆心，BP为半径的圆交边BC于点 $Q$ .

(1)、求AB的长；

(2)、当BQ的长为 $\frac{40}{9}$ 时，请通过计算说明圆 $P$ 与直线DC的位置关系.

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5、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．

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6、如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE是⊙O的切线．

(1)、求证：FE＝FP；

(2)、若⊙O的半径为4，sin∠F＝ $\frac{3}{5}$ ，求AG的长

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7、如图，AB是⊙O的直径，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．

(1)、求证：DC²＝DF•DB；

(2)、若AE＝AO，CD＝2，求ED的长

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8、如图，AB为O的直径，点C，D在O上，点D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连结AD．

(1)、求证：ED是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为3，AC=2，求AD的长．

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9、如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

(1)、求证：BD是⊙O的切线；

(2)、若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝ $\frac{2}{3}$ ，求△ACF的面积．

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10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B。

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若DE⊥AB，垂足为点E，DE交AC于点F，求证：△DFC是等腰三角形

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11、如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝CE，过点D的切线交AC的延长线于点F．

(1)、求证：BC∥DF；

(2)、若 $s i n ∠ B A D = \frac{\sqrt{5}}{5}, A B = 4 \sqrt{5}$ ，求DF的长.

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12、如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠CAB的平分线与BC和圆O分别交于点D和E．

(1)、求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{P A}{P C}$ ；

(2)、求 $A D \cdot A E$ 的值.

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13、如图，已知 $△ A B C$ ，以AB为直径的半 $⊙ O$ 交AC于 $D$ ，交BC于 $E, B E = C E$ ， $∠ C = 6 5^{°}$ ，求 $∠ D O E$ 的度数.

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14、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．

(1)、求证：∠1=∠2；

(2)、若BECD=2，6，求⊙O的半径的长．

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15、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

(1)、求证：PC是⊙O3的切线；

(2)、点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．

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16、如图，△ABC中，AC＝BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．

(1)、求证：CI是⊙O的切线；

(2)、若AC＝BC＝5，AB＝6，求sin∠ABI值．

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17、如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的
外接圆，AE是直径，交BC于点H?，点D在 $\overset{⌢}{A C}$ 上，连接AD，CD过点E作EF∥BC
交SD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、若BC=2，AH=CG=3，求EF和CD的长

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18、如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；

(3)、如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝ $\frac{3}{4}$ ， BC＝5 $\sqrt{7}$ ，求DM的值．

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19、已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O

(1)、填空：点A（填“在”或“不在”）半圆O上；当 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{A F}$ 时tan∠AEF的值是；

(2)、如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE＋DH；

(3)、如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．

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20、如图，AB是O的直径，点C为O上一点，点F是半径AO上一动点（不与O，A重合），过点F作射线l⊥AB，分别交弦 $\overset{⌢}{A C}$ 于H，D两点，在射线l上取点E，过点E作O的切线EC．

(1)、求证：EC=EH

(2)、当点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点时，若∠ABC=60°，判断以O，A，D，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．

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