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1、在三角形 $A B C$ 所在平面内，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{m |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{n |\vec{A C}|})$ ，其中 $λ \in (0, + \infty)$ ， $m, n \in R$ ， $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m |A B| = n |A C|$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的重心 B、当 $m = n = 1$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的外心 C、当 $m = cos B, n = cos C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的垂心 D、当 $m = sin B, n = sin C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的内心

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2、下列命题中正确的是（）

A、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 $π$ ，则球的表面积为 $16 π$ B、圆柱形容器底半径为 $5 cm$ ，两直径为 $5 cm$ 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 $\frac{5}{3} cm$ C、正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ D、已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为 $\frac{32 \sqrt{21}}{3} π$

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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4、已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[\frac{3}{2}, 4]$ D、 $[\frac{3}{2}, 3]$

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5、一艘游轮航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的北偏东 $75 °$ ，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ ，距离为 $12 \sqrt{3}$ 海里，该游轮由 $A$ 沿正北方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏东 $60 °$ 方向，则此时灯塔 $C$ 位于游轮的（　　）

A、正西方向 B、南偏西 $75 °$ 方向 C、南偏西 $60 °$ 方向 D、南偏西 $45 °$ 方向

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6、 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 {sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) > \frac{b + c}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、直角或钝角三角形 D、锐角三角形

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7、某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路 $A B, A D, A C$ 之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知 $∠ B A C = 120^{\circ}, A D ⊥ A B$ ， $B, C, D$ 三点在同直线上， $A D = 6$ .

(1)、若 $C D = 3 \sqrt{13}$ ，求 $B D$ 的长度；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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8、直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 $2$ 米，过点 $P$ 的一直线与走廊的外侧两边交于 $A, B$ 两点，且与走廊的一边的夹角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .
（1）将线段 $A B$ 的长度 $l$ 表示为 $θ$ 的函数；
（2）一根长度为 $5$ 米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．
（1）求函数 $y = f (x)$ 的表达式；
（2）将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) - a = 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有实数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，记 $∠ M O A = α$ ， $∠ M O B = β$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{3}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若点A的坐标为 $(\frac{4}{5}, m)$ ，求 $\sin α - \sin β$ 的值.

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11、已知 $f (α) = \frac{\sin (3 π - α) \cos (2 π - α) \sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (π - α) \sin (- π - α)}$ .
（1）化简 $f (α)$ ；
（2）若 $α$ 是第二象限角，且 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{1}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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12、如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，且 $A C / / E F$ ，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是.

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13、已知 $\cos (\frac{3}{4} π - α) = \frac{1}{5}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} + α) =$ .

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}| =$ ．

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15、已知向量 $\vec{O A} = (3, - 4), \vec{O B} = (6, - 3), \vec{O C} = (5 - m, - 3 - m)$ ，若 $∠ A B C$ 为锐角，则实数 $m$ 可能的取值是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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16、在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状可能为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、不存在

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $- 2$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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18、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点P在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 16)$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4]$

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19、已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量．若 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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20、若 $α$ 是第三象限的角，则 $π - \frac{α}{2}$ 是( )

A、第一或第二象限的角 B、第一或第三象限的角 C、第二或第三象限的角 D、第二或第四象限的角

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