上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷日期：2017-12-13 考试类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₅=12，a₄=7，则a_n=（n∈N^*）．

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2. 等比数列{a_n}中，a₁+a₂=30，a₃+a₄=60，则q= ．

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3. b²=ac是a，b，c成等比数列的条件．

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4. 若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为

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5. 已知向量 $\vec{a} = (k - 1 ， 3) ， \vec{b} = (k ， - 4) ，若 \vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则实数k=

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6. 已知数列{a_n}的前n项的和S_n=3n²+2n+1，则a_n= ．

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7. 已知| $\vec{a |} = 5 ， | \vec{b |}$ = $3 ，且 \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 ，则向量 \vec{a} 在向量 \vec{b} 上的投影为$ ．

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8. 在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n= $\frac{2 n (1 + 2 n)}{2}$ （n∈N^*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上．

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9. 若a，b，c成等比数列，则函数y=ax²+4bx+c的图象与x轴交点的个数是．

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10. 如果 $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{3^{n}}{3^{n + 1} + {(a + 1)}^{n}} = \frac{1}{3}$ ，则实数a的取值范围是．

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11. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列就叫做“等和数列”，这个常数叫做公和．已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为6，求这个数列的前n项的和S= ．

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12. 在等差数列{a_n}中，若a₁₀=0，则有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a₁₉_﹣n成立（n＜19，n∈N^*）．类比上述性质，相应地，在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则有等式成立．

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二、选择题

13. 使数列 $10^{\frac{1}{11}} ， 10^{\frac{2}{11}} ， 10^{\frac{3}{11}} ， \dots 10^{\frac{n}{11}} 前 n 项积大于 10^{5}$ 的自然数n的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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14. 若关于x的方程x²﹣2x+m=0与x²﹣2x+n=0（m≠n），的四个根可组成一个首项为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，则|m﹣n|的值为．（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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15. 直角坐标系xOy中， $\vec{i} ， \vec{j}$ 分别表示x轴，y轴正方向的单位向量，在Rt△ABC中，若 $\vec{A B} = 2 \vec{i} + \vec{j} ， \vec{A C} = 3 \vec{i} + k \vec{j}$ ，则k可能的取值个数为．（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 已知数列{log₂（a_n﹣1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则 $\underset{n \to \infty}{l i m}$ （ $\frac{1}{a_{2} - a_{1}}$ + $\frac{1}{a_{3} - a_{2}}$ +…+ $\frac{1}{a_{n + 1} - a_{n}}$ ）=（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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三、解答题

17. 设等差数列{a_n}满足a₃=5，a₁₀=﹣9．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求{a_n}的前n项和S_n及使得S_n最大的序号n的值．

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18. 已知两个非零向量 $\vec{a ，} \vec{b}$ 不平行，

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b} ， \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b} ， \vec{C D}$ = $3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，求证A，B，D三点共线；

(2)、试确定实数k，使k $\vec{a} + \vec{b} 和 \vec{a} + k \vec{b}$ 平行．

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19. 已知数列{a_n}满足a₁=4，2a_n+1=a_n+1．

(1)、求{a_n}的通项公式和a₅；

(2)、若要使a≤ $\frac{129}{128}$ ，求n的取值范围．

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20. 已知等比数列{a_n}，它的前n项和记为S_n ，首项为a，公比为q （0＜q＜1），设G_n=a₁²+a₂²+…+a_n² ，求 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{G_{n}}{S_{n}}$ 的值．

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21. 浦东新区某镇投入资金进行生态环境建设，2017年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少 $\frac{1}{5}$ ，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加 $\frac{1}{4}$ ；

(1)、设n年内（今年为第一年）总投入为a_n万元，旅游总收入为b_n万元，写出a_n ， b_n的表达式；

(2)、至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入．

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