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1、已知圆锥的高为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{5}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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2、若 $A (1, m), B (m + 1, 3), C (1 - m, 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、0或 $- 5$ D、0或5

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3、已知集合 $A = \{x |x > 0\}$ ，集合 $B = \{x |y = ln (- x^{2} + 16)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(0, 3)$ D、 $[2, 3)$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - (a + 1) x^{2} - 2 a x + 1$ （ $a \in R$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} + x_{2} > 2 \sqrt{\frac{1}{a + 1}}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = a (x + a) - \ln x (a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 3 \ln a + 2$ .

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6、盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.

(1)、求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；

(2)、设两局比赛后盒中新球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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7、某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投 $3$ 次，先在 $M$ 处投一次三分球，投进得 $3$ 分，未投进不得分，以后均在 $N$ 处投两分球，每投进一次得 $2$ 分，未投进不得分．测试者累计得分高于 $3$ 分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{2}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{10}$ ，乙同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{2}{5}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{5}$ .

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．

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8、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，过点 $M (1, t)$ 可作 $3$ 条与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线，则实数 $t$ 的取值范围是.

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9、有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台车床加工的次品率为 $0.06$ ，第 $2$ 台车床加工的次品率为 $0.05$ ，第 $3$ 台车床加工的次品率为 $0.08$ ，加工出来的零件混放在一起，已知第 $1, 2, 3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $0.25$ ， $0.3$ ， $0.45$ ，现从中任意选取 $1$ 个零件，则取到的零件是次品的概率为.

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10、若函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - 2 x + 1) (a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < 0$ 或 $a > 2$ B、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1 - 2 \ln 2$

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11、用数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 组成无重复数字的四位数，则（）

A、可组成 $360$ 个四位数 B、可组成 $108$ 个是 $5$ 的倍数的四位数 C、可组成各位数字之和为偶数的四位数有 $180$ 个 D、若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第 $88$ 个数为 $2310$

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12、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\sqrt{e}$ C、 $1$ D、 $e$

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13、某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{200}$ C、 $\frac{9}{19}$ D、 $\frac{18}{37}$

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14、6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.

A、720 B、450 C、360 D、180

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15、我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（）个.

A、35 B、56 C、120 D、165

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16、学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（）种不同的涂色方法.

A、108 B、96 C、84 D、48

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明：
① $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；
② $k \in N^{*}$ 且 $k \leq n$ 时， $\sum_{i = k}^{n} \frac{1}{i} > \ln \frac{n + 1}{k}$ ；

(3)、判断 $\sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{j!}$ 与 $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} {(\frac{1}{n})}^{i}$ 的大小关系，并证明．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ ，其中B，C在x轴上，以 $E (0, 1)$ 为圆心的圆内切于 $△ A B C$ ，与边AB切于点M，且 $|A M|$ 等于点A到x轴的距离．

(1)、求点A运动轨迹的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最小值．

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19、如图，已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $\sqrt{3}$ ，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径， $O_{2} A / / B C$ ．

(1)、证明： $△ A D O_{2}$ 是等边三角形；

(2)、已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．

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20、现有 $n + 1$ 个球，球的编号从1到 $n + 1$ ，从中任取2个球，取法总数记为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{n} + C_{n + 1}^{n} = a_{n + 1}$ ．

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