2017年高考数学真题试卷（上海卷）

试卷日期：2017-09-14 考试类型：高考真卷

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一、填空题

1. 已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．

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2. 若排列数 $P_{6}^{m}$ =6×5×4，则m= ．

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3. 不等式 $\frac{x - 1}{x}$ ＞1的解集为．

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4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．

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5. 已知复数z满足z+ $\frac{3}{z}$ =0，则|z|= ．

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6. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{9}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（b＞0）的焦点为F₁、F₂ ， P为该双曲线上的一点，若|PF₁|=5，则|PF₂|= ．

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7. 如图，以长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为（4，3，2），则 $\vec{A C_{1}}$ 的坐标是．

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8. 定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1（x），若g（x）= ${\begin{matrix} 3^{x} - 1 ， x \leq 0 \\ f (x) ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则f^﹣1（x）=2的解为．

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9. 已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣ $\frac{1}{x}$ ，③y=x³ ， ④y=x $^{\frac{1}{2}}$ ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．

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10. 已知数列{a_n}和{b_n}，其中a_n=n² ， n∈N^* ， {b_n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^* ， {b_n}的第a_n项等于{a_n}的第b_n项，则 $\frac{l g (b_{1} b_{4} b_{9} b_{16})}{l g (b_{1} b_{2} b_{3} b_{4})}$ = ．

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11. 设a₁、a₂∈R，且 $\frac{1}{2 + s i n α_{1}}$ + $\frac{1}{2 + s i n (2 α_{2})}$ =2，则|10π﹣α₁﹣α₂|的最小值等于．

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12.
如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P₁、P₂、P₃、P₄以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄}，点P∈Ω，过P作直线l_P ，使得不在l_P上的“▲”的点分布在l_P的两侧．用D₁（l_P）和D₂（l_P）分别表示l_P一侧和另一侧的“▲”的点到l_P的距离之和．若过P的直线l_P中有且只有一条满足D₁（l_P）=D₂（l_P），则Ω中所有这样的P为．

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二、选择题

13. 关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} x + 5 y = 0 \\ 2 x + 3 y = 4 \end{matrix}$ 的系数行列式D为（）

A、 $| \begin{matrix} 0 & 5 \\ 4 & 3 \end{matrix} |$ B、 $| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{matrix} |$ C、 $| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix} |$ D、 $| \begin{matrix} 6 & 0 \\ 5 & 4 \end{matrix} |$

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14. 在数列{a_n}中，a_n=（﹣ $\frac{1}{2}$ ）ⁿ ， n∈N^* ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m}$ a_n（）

A、等于 $- \frac{1}{2}$ B、等于0 C、等于 $\frac{1}{2}$ D、不存在

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15. 已知a、b、c为实常数，数列{x_n}的通项x_n=an²+bn+c，n∈N^* ，则“存在k∈N^* ，使得x_100+k、x_200+k、x_300+k成等差数列”的一个必要条件是（）

A、a≥0 B、b≤0 C、c=0 D、a﹣2b+c=0

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16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4}$ =1和C₂：x²+ $\frac{y^{2}}{9}$ =1．P为C₁上的动点，Q为C₂上的动点，w是 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C₁上，Q在C₂上，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ =w}，则Ω中元素个数为（）

A、2个 B、4个 C、8个 D、无穷个

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三、解答题

17. 如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA₁的长为5．

(1)、求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积；

(2)、设M是BC中点，求直线A₁M与平面ABC所成角的大小．

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18. 已知函数f（x）=cos²x﹣sin²x+ $\frac{1}{2}$ ，x∈（0，π）．

(1)、求f（x）的单调递增区间；

(2)、设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= $\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

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19. 根据预测，某地第n（n∈N^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a_n和b_n（单位：辆），其中a_n= ${\begin{matrix} 5 n^{4} + 15 ，_{} 1 \leq n \leq 3 \\ - 10 n + 470 ，_{} n \geq 4 \end{matrix}$ ，b_n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

(1)、求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

(2)、已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S_n=﹣4（n﹣46）²+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2}$ =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

(1)、若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

(2)、设P（ $\frac{8}{5} ， \frac{3}{5}$ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

(3)、若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\vec{A Q} = 2 \vec{A C}$ ， $\vec{P Q} = 4 \vec{P M}$ ，求直线AQ的方程．

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21. 设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x₁、x₂∈R，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂）．

(1)、若f（x）=ax³+1，求a的取值范围；

(2)、若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；

(3)、设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．

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