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1、麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 $P (x = i) = P_{i} > 0$ （ $i = 1$ ， 2，…n） $\sum_{i = 1}^{n} P_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (x) = - \sum_{i = 1}^{n} P_{i} \log_{2} P_{i}$ ，则下列说法正确的有（）

A、n=1时 $H (x) = 0$ B、n=2时，若 $P_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ ，则 $H (x)$ 与 $P_{1}$ 正相关 C、若 $P_{1} = P_{2} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ ， $P_{k + 1} = 2 P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ ， $H (x) = 2 - \frac{n}{2^{n - 1}}$ D、若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (y = j) = P_{j} + P_{2 m + 1 - j}$ （j=1，2，…，m）则 $H (x) \geq H (y)$

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2、已知函数 $f (x) = |\lg x|, 0 < a < b,$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则（）

A、 $a b = 1$ B、 $a b = 10$ C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} > 8$

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3、若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个集合， $A \cup B = B \cap C$ ，则一定有（　　）

A、 $A \subseteq C$ B、 $C \subseteq A$ C、 $A \neq C$ D、 $A = \emptyset$

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4、曲线 $y = \sin x$ 在原点处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\cos 1$ D、1

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5、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = b^{3}$ ”是“ $3^{a} = 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知集合 $A = \{x |1 < x^{2} < 5\}, B = \{- 2, - 1, 0, 2\}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、双曲线的左､右顶点分别为 $A_{1} ､ A_{2}$ ，过点 $B (3, 0)$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P ､ Q$ 两点，直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点S，直线 $A_{1} Q$ 与 $A_{2} P$ 交于点 $T$ .
（i）设直线 $A_{1} P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} = λ k_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（ii）求 $△ A_{2} S T$ 的面积的取值范围.

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8、传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．

(1)、记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记 $n$ 次传球后球在小胡手中的概率为 $p_{n}, n = 1, 2, 3, \dots$ ．
①直接写出 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 的值；
②求 $p_{n + 1}$ 与 $p_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $p_{n} (n \in N^{*})$ ．

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9、在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A B E F$ 的边长都是1，且他们所在的平面互相垂直，活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，及 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$

(1)、求 $M N$ 的长；

(2)、 $a$ 为何值时， $M N$ 的长最小，最小值是多少？

(3)、当 $M N$ 的长最小时，求平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 的夹角的余弦值．

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b + c = 4$ ，求a的取值范围．

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11、函数 $f (x) = 8 ln (sin x) + {sin}^{2} 2 x$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的零点个数为个．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 3} = a_{n} (n \in N^{*})$ ， $f (a_{2}) + f (a_{3} + a_{4}) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} a_{i} =$ .

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13、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点， $\cos 〈 \vec{F A}, \vec{F B} 〉 = - 1$ ，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（）

A、若 $| A F | + | B F | = 4$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = - 1$ B、直线PN的倾斜角 $α \geq \frac{π}{4}$ C、若 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，则直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ D、 $| M F |$ 的最小值为2

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14、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点，则下列结论正确的是（）

A、若 $D P //$ 平面 $C E F$ ，则点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $D P //$ 平面 $C E F$ ，则三棱锥 $P - D E F$ 的体积为定值 C、若 $A P = \sqrt{17}$ ，则点P的轨迹长度为 $2 π$ D、若P是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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15、现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（）

A、不同安排方案的种数为 $5^{4}$ B、若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 $C_{5}^{2} A_{4}^{4}$ C、若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 $(C_{5}^{3} C_{2}^{1} + C_{5}^{2} C_{3}^{2}) A_{3}^{3}$ D、若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 $C_{4}^{1} C_{4}^{2} A_{3}^{3} + C_{4}^{2} A_{3}^{3}$

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16、已知 $a > 0$ ， $f (x) = (a e^{x} - \frac{1}{x}) ln (x + b)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，则 $a {(1 - b)}^{3}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{3}{e^{2}}$ D、 $\frac{4}{e^{2}}$

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17、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ，点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内，且 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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18、研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为 $\frac{12}{13}$ ， y，z的样本相关系数为 $\frac{4}{5}$ ，则x、z的样本相关系数的最大值为（）
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

A、 $\frac{48}{65}$ B、 $\frac{63}{65}$ C、 $\frac{64}{65}$ D、1

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19、在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ，另一名选手余浩楠射击的方向向量 $\vec{b} = (5, 2)$ ，若 $(x \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 16$ B、 $\frac{126}{37}$ C、 $- \frac{126}{37}$ D、16

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20、已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 8$ ，则 $a + 9 b$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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