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1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $c c o s B + 2 a c o s A + b c o s C = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = 2 b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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2、已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， $B C = C D$ ，存在点A满足 $∠ B A C = 16.5 °, ∠ D A C = 37 °$ ，则 $∠ B C A =$ (精确到0.1度)

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a s i n B = b (2 + c o s A)$ ，若 $△ A B C$ 的面积等于 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最小值为．

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4、已知 $| A B | = 4$ ， $M$ 为 $A B$ 上一点，且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ . 动点 $C$ 满足 $| A C | = 2 | C M |$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，满足 $| C D | = | D M |$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $C M ⊥ A B$ ，则 $D$ 为线段BC的中点 B、当 $A C = 3$ 时， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、点 $D$ 到 $A, B$ 的距离之和的最大值为5 D、 $∠ M C B$ 的正切值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，下列命题正确的是（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、若 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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6、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，分别以a ， b ， c为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, s i n B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求b ．

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D = 1$ ．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，求 $t a n B$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求 $b, c$ ．

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8、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 | x - a | - a$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积为2，求 $a$ ．

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °, A B = 2, B C = \sqrt{6}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D ，则 $A D =$ ．

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10、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $P C = P D = 3, ∠ P C A = 45 °$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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11、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a \cdot 2^{- x}}{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值；

(2)、若 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域是 $[\frac{k}{4^{m}}, \frac{k}{4^{n}}]$ （ $k \in R$ ），求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 2$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在R上的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 4$ ，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 2 x - 1), a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 过定点 $(1, 2)$ ，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 值域为 $R$ ，求a的取值范围．

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14、某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 $C D = x, A D = y$ （单位： $cm$ ），该零部件的面积是 $4 \sqrt{3} {cm}^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出定义域；

(2)、设用到的圆形铁片的面积为 $S$ （单位： ${cm}^{2}$ ），求 $S$ 的最小值．

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15、已知集合 $A = \{x |- 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求集合 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、计算：

(1)、 $\lg 2 + \lg 5 - {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}} + {(π - 3)}^{0}$ ；

(2)、 $\sin (- \frac{23 π}{6}) + \cos (\frac{23 π}{7}) \cdot \tan 2024 π - \cos \frac{13 π}{3}$ ．

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17、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} - x_{1} + x_{4} - x_{2}$ 的取值范围为．

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18、已知 $α$ 是第二象限角，且 $\cos α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{\sin^{2} α - \frac{1}{2} \sin 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4}) \cos α} =$ ．

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19、函数 $f (x) = \ln x + x - 6$ 的零点 $x_{0} \in (n, n + 1), n \in Z$ ，则 $f (n)$ 的值为．

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20、扇形的半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则此扇形的面积为．

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