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1、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点测得树尖的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ ，且 $A, B$ 两点之间的距离为 $80 m$ ，则树的高度为（）

A、 $(40 + 40 \sqrt{3}) m$ B、 $(40 + 20 \sqrt{3}) m$ C、 $(20 + 40 \sqrt{3}) m$ D、 $(20 + 4 \sqrt{3}) m$

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2、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i^{2} + i^{3} + i^{4} + i^{5}$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、 $z = - 1 - i$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z = 1 + i$

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求其最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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4、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，求证： $A, B, D$ 三点共线；

(2)、试确定实数 $k$ ，使 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} + k \vec{b}$ 共线.

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5、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 1) i(m \in R)$ .

(1)、若z为实数，求m值：

(2)、若z为纯虚数，求m值；

(3)、若复数z对应的点在第一象限，求m的取值范围.

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6、 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角为锐角，则 $m$ 的取值范围为.

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7、已知关于x的方程 $x^{2} - p x + 25 = 0 (p \in R)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1} = 3 + 4 i$ ，则实数p的值为.

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8、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 为奇函数 B、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴为直线 $x = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π, \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$

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9、已知两个非零单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $θ$ .以下结论正确的是（）

A、不存在 $θ$ ，使 ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} = \sqrt{2}$ B、 $|{\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}| = |2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}|$ C、 $({\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}) ⊥ ({\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2})$ D、 ${\vec{e}}_{1}$ 在 ${\vec{e}}_{2}$ 方向上的投影向量的模为 $\sin θ$

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10、点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $O$ 上，若 $|A B| = 2$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B}$ 的最大值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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11、第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C D = 105 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则A，B两个基站的距离为（）

A、 $10 \sqrt{6}$ km B、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ km C、15km D、 $10 \sqrt{5}$ km

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} A - \sin^{2} C + \sin^{2} B = \sin A \sin B$ ，且 $c = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中，若 ${\vec{B C}}^{2} = 2 \vec{A B} \cdot \vec{C B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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14、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 均为非零向量， $(\overset{⇀}{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ， $|\overset{⇀}{a}| = |\overset{⇀}{b}|$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{B G} = x \vec{C B} + y \vec{C A}$ .则 $x + y =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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16、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ B、 $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ C、 $4 \sin 195 ° \cos 195 °$ D、 $\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{π}{6}}{2}}$

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17、已知复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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18、已知圆 $A_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l_{1}$ 过点 $A_{2} (1 ， 0)$ 且与圆 $A_{1}$ 交于点B，C，BC中点为D，过 $A_{2} C$ 中点E且平行于 $A_{1} D$ 的直线交 $A_{1} C$ 于点P，记P的轨迹为Γ

(1)、求Γ的方程；

(2)、坐标原点O关于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的对称点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，过 $A_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 与Γ交于点M，N，直线 $B_{1} M$ ， $B_{2} N$ 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
① $△ Q B_{1} C_{1}$ 的面积是定值；② $△ Q B_{1} B_{2}$ 的面积是定值：③ $△ Q C_{1} C_{2}$ 的面积是定值.

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19、某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
$90 \leq x \leq 100$
4
10
$80 \leq x < 90$
3
a
$70 \leq x < 80$
2
b
$60 \leq x < 70$
1
23
$0 \leq x < 60$
0
2

(1)、当 $a = 35$ 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 $Y_{1}$ ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为 $Y_{2}$ .若根据表中信息能推断 $Y_{1} \leq Y_{2}$ 恒成立，直接写出a的最小值.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $P C$ 上， $E F ⊥ P C ， A C = 4 \sqrt{2} ， B D = 4 ， E F = 2$ ．

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，求 $α + β$ ．

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科普测试成绩x	科普过程性积分	人数
$90 \leq x \leq 100$	4	10
$80 \leq x < 90$	3	a
$70 \leq x < 80$	2	b
$60 \leq x < 70$	1	23
$0 \leq x < 60$	0	2