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1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

(1)、 $\sin 72 ° \cos 42 ° - \cos 72 ° \sin 42 °$ ；

(2)、 $\cos 20 ° \cos 70 ° - \sin 20 ° \sin 70 °$ ；

(3)、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °}$

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2、计算：

(1)、 $(- 3 - 4 i) + (2 + i) - (1 - 5 i)$

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2} i) (- \sqrt{3} + \sqrt{2} i)$

(3)、 $\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i} -$ $\frac{3 - 2 i}{2 + 3 i}$

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3、已知钝角 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ ．

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4、若复数 $z = 3 - 4 i + | 3 - 4 i |$ ，则 $| z | =$

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5、已知复数 $z = \frac{2 i}{\sqrt{3} + i}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $| z | = 1$ C、 $z^{3}$ 为纯虚数 D、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点在第四象限．

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6、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \in R$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{1}$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1}|$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 2 z_{1}$

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7、设复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = - 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B$ 所对的边分别为 $a, b$ .若 $\sqrt{5} b sin A = 2 sin B$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $5 \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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10、以下说法正确的是（）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．

A、①②④⑥ B、②③④⑤ C、①②③⑥ D、①②⑤⑥

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11、化简： $\overset{⃑}{A C} - \overset{⃑}{B D} - \overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{C D} - \overset{⃑}{A B} =$ （）

A、 $\overset{⃑}{A D}$ B、 $\overset{⃑}{D A}$ C、 $\overset{⃑}{B C}$ D、 $\overset{⃑}{C B}$

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12、已知 $f (α) = \frac{\sin (3 π - α) \tan (π + α) \sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (α - \frac{π}{2}) \tan (3 π - α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α \in (0, π) ， f (α) = - \frac{4}{5},$ 求 $\frac{1 + \cos 2 α}{\sin 2 α}$ 的值.

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13、化简：

(1)、 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β)$

(2)、 $\frac{2 \cos^{4} x - 2 \cos^{2} x + \frac{1}{2}}{2 \tan (\frac{π}{4} - x) \sin^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

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14、计算

(1)、 $(7 - 6 i) (- 3 i)$

(2)、 $(3 + 4 i) (- 2 - 3 i)$

(3)、 $(1 + 2 i) (3 - 4 i) (- 2 - i)$

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15、化简下列各向量的表达式：

(1)、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D}$ ；

(2)、 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D})$ ；

(3)、 $(\vec{A C} + \vec{B O} + \vec{O A}) - (\vec{D C} - \vec{D O} - \vec{O B})$ ；

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16、为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得： $∠ C A B = 30 °$ ， $∠ C B A = 105 °$ ， $A B = 60 m$ ，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为m；

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 方向相反，且 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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18、已知向量 $\vec{O A} = (- 1, 2), \vec{O B} = (8, m)$ ，若 $\vec{O A} ⊥ \vec{A B}$ ，则 $m =$ .

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19、 $\cos α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，则 $\sin \frac{α}{2} =$ ．

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20、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，∠ $B A C$ ， ∠ $A B C$ ， ∠ $A C B$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 4 : 3 : 2$ B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，且 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，且 $5 \vec{O A} + 12 \vec{O B} + 13 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ A C B = \frac{π}{2}$

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