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1、（1）已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ．求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；
（2）已知 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} - 2 \vec{a}$ 的夹角

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2、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的动点，满足 $\vec{O P} = \vec{O B} + λ (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} + \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |}) (λ > 0)$ ．射线 $B P$ 与边 $A C$ 交于点 $D$ ．若 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ ， $B D = 2$ ，则角 $B$ 的值为， $△ A B C$ 面积的最小值为．

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{6}, A C = \sqrt{5}, D$ 是 $A B$ 边上一点， $C D = 2, △ A C D$ 的面积为 $2$ ， $∠ A C D$ 为锐角，则 $B C =$ ．

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4、向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 3)$ 与向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, x)$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值集合为.

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5、对于非零向量 $\vec{a} = (x, y)$ ，定义变换 $F (\vec{a}) = (x + y, x - y)$ 以得到一个新的向量．关于该变换，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $F (\vec{a}) ∥ F (\vec{b})$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $F (\vec{a}) ⊥ F (\vec{b})$ C、存在 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 使得 $cos ⟨F (\vec{a}), F (\vec{b})⟩ = cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ + \frac{1}{2}$ D、设 $\vec{a_{0}} = (- 5, 2)$ ， $\vec{a_{1}} = F (\vec{a_{0}})$ ， $\vec{a_{2}} = F (\vec{a_{1}})$ ，．．．， $\vec{a_{2023}} = F (\vec{a_{2022}})$ ，则 $\vec{a_{0}} \cdot \vec{a_{2023}} = 2^{1011}$

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6、下列命题中正确的是（）

A、非零向量 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a} |=| \overset{⃑}{b} |=| \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ B、已知非零向量 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ ，若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} > 0$ ，则 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角 C、若 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面上的一点，且满足 $(\overset{⃑}{M A} + \overset{⃑}{M B} - 2 \overset{⃑}{M C}) (\overset{⃑}{M A} - \overset{⃑}{M B}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若点 $P$ 满足 $\overset{⃑}{P A} \cdot \overset{⃑}{P B} = \overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{P C} \cdot \overset{⃑}{P A}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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7、在 $△ A B C$ 中， $A = 60^{\circ}$ ，角 $A$ 所对的边 $a = \sqrt{3}$ ，下列结论正确的为（）

A、若 $0 < b \leq 2$ ， $△ A B C$ 有一个解 B、若 $b > 2$ ， $△ A B C$ 无解 C、若 $\sqrt{3} < b < 2$ ， $△ A B C$ 有两个解 D、若 $0 < b \leq \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 有一个解

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8、如图，在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为中线 $B D$ 的三等分点（靠近点 $B$ ），点 $F$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{F E} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（）

A、摩天轮的轮盘直径为60m B、h关于t的函数解析式为 $h = 60 \sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}) + 8$ C、h关于t的函数解析式为 $h = 60 \cos (\frac{π}{12} t + \frac{3 π}{2}) + 68$ D、在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有1个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{12}, \frac{11}{12}]$ B、 $[\frac{5}{12}, \frac{11}{12})$ C、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{3})$

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} + \sqrt{3} \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{4} x + φ)$ $(|φ| < \frac{π}{2})$ 图像的一个对称中心为 $(3, 0)$ ，则为了得到函数 $g (x) = 2 \cos \frac{π}{4} x$ 的图像，只需将函数 $f (x)$ 的图像（）

A、向左平移1个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移1个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a = 1$ ， $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、设 $\vec{e_{1}} 、 \vec{e_{2}}$ 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 和 $4 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + \vec{e_{1}}$

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15、已知抛物线W： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ 与W相切．

(1)、求W的方程．

(2)、过点F且与 $l_{1}$ 平行的直线 $l_{2}$ 与W相交于M，N两点，求 $|M N|$ ．

(3)、已知点 $P (4, 4)$ ，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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16、已知函数 $f (x) = a (2 x - \ln x), g (x) = b x - x^{2}$ ，且曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1, g (1))$ 处的切线与直线 $y = x + 1$ 垂直．

(1)、求b；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $m (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, 4]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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17、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列.数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $3 b_{n} - 2 S_{n} - 2 n + 2 = 0$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数, \\ b_{n}, n 为偶数, \end{array}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为1， $a_{1} = 2$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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20、曲线 $y = 2 x - \ln x$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线方程为.

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