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1、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2、若向量 $\overset{⃑}{a}$ =(1，2)， $\overset{⃑}{b}$ =(2，3)，则与 $\overset{⃑}{a}$ + $\overset{⃑}{b}$ 共线的向量可以是（）

A、(2，1) B、(6，10) C、(－1，2) D、(－6，10)

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3、设 $A, B$ 是单位圆上不同的两个定点，点 $O$ 为圆心，点 $C$ 是单位圆上的动点，点 $C$ 满足 $\vec{O C} = sin α \vec{O B} + cos α \vec{O A}$ （ $α$ 为锐角）线段 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ （不包括 $A, B$ ），点 $P$ 在射线 $O C$ 上运动且在圆外，过 $P$ 作圆的两条切线 $P M, P N$ ， $M, N$ 为切点.

(1)、证明： $\vec{O B} ⊥ \vec{O A}$ ，并求 $\vec{O B} \cdot \vec{B A} + \vec{C O} \cdot \vec{C A} + \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{O D} = λ \vec{O C}, \vec{B D} = μ \vec{B A}$ ，求 $\frac{λ^{2}}{μ + 1}$ 的最小值.

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 4)$ ．

(1)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求k的值

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求k的取值范围

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5、如图所示，平行四边形 $O A B C$ ，顶点 $O, A, C$ 分别表示 $0, 4 + 3 i, - 3 + 5 i$ ，试求：

(1)、对角线 $\vec{C A}$ 所表示的复数；

(2)、求 $B$ 点对应的复数.

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6、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $D C // A B$ ， $|A D| = |D C| = |C B| = \frac{1}{2} |A B| = 1$ ， F为 $B C$ 的中点，点P在以A为圆心， $A D$ 为半径的圆弧 $D E$ 上变动，E为圆弧 $D E$ 与 $A B$ 的交点．若 $\vec{A P} = λ \vec{E D} + μ \vec{A F}$ ，其中 $λ, μ \in R$ ，则 $2 λ + μ$ 的取值范围是．

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7、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30 °$ 的方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北 $75 °$ 的方向上，仰角为 $30 °$ ，则此山的高度CD=m

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8、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, - 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (x, 4)$ ，且 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ，则实数 $x =$

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9、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{5 π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}]$ 上单调递增 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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10、已知 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{1}{6}$ B、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 C、若 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = \vec{D B} \cdot \vec{D C} = \vec{D C} \cdot \vec{D A}$ ，则 $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| sin B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| sin C}) (λ \in R)$ ，则点 $D$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的重心

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11、对于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中正确的有（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ； B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ； C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| \leq |\vec{b} - \vec{c}|$ ； D、 ${|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} + {|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2}$

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12、奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，若 $△ B O C$ 、 $△ A O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} \cdot \overset{⃑}{O A} + S_{2} \cdot \overset{⃑}{O B} + S_{3} \cdot \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 $logo$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心，且 $\overset{⃑}{O A} + 2 \overset{⃑}{O B} + 4 \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $\cos B =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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13、满足 $A = 60^{\circ}, a = \sqrt{10}, b = 4$ （其中 $a, b$ 分别为角 $A, B$ 所对的边）的三角形有（）．

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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14、已知 $\cos (α - β) = 3 \cos (α + β)$ ，则 $\tan α \cdot \tan β$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个非零向量，同时满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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16、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 15^{\circ} - {sin}^{2} 15^{\circ}$ C、 $2 \sin^{2} 15^{\circ}$ D、 $\sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 3, - 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 等于（）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(1, 6)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(1, - 2)$

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18、北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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19、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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20、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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