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1、已知 $A (2, 0)$ ， $B (- 1, 1)$ ，动点 $H (x, y)$ 满足 $\sqrt{3} |H A| = \sqrt{2} |H B|$ ，记动点 $H$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 8 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 16 x + 4 y + 8 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y - 8 = 0$

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $g (x) = f (x) + 2, g (3) = 1$ ，则 $g (- 3) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $B D = 3 B C$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $4 \vec{A C} - 3 \vec{A B}$ B、 $3 \vec{A C} - 2 \vec{A B}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$

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4、已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{2 x + 1}$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、3 C、5 D、1

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5、下列双曲线，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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6、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{39} = 10$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、20 B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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7、小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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8、如图（1），在直角梯形 $A B C P$ 中， $A P // B C$ ， $A P ⊥ A B$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A P$ ， $D$ 是 $A P$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 的中点，将 $△ P C D$ 沿 $C D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图（2）．

(1)、在图（2）中，求证： $E F ⊥ P A$ ；

(2)、在图（2）中， $G$ 为线段 $B C$ 上任意一点，若 $A P //$ 平面 $E F G$ ，请确定点 $G$ 的位置．

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9、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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10、已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在 $△ A B C$ 所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在 $△ A B C$ 的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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12、若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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13、如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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14、已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边AB上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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15、如果 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, 6 \vec{e_{2}} - 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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16、已知函数 $f (x) = e^{a x} + \frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ .

(1)、求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x + 1}}{a} - \ln x - \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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18、高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 $\frac{49}{50}$ ， $\frac{48}{49}$ ， $\frac{47}{48}$ ，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)、人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 取得最大值，求 $p_{0}$ ；

(3)、若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

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19、海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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20、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828