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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{a x} + \frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ .

(1)、求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x + 1}}{a} - \ln x - \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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3、高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 $\frac{49}{50}$ ， $\frac{48}{49}$ ， $\frac{47}{48}$ ，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)、人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 取得最大值，求 $p_{0}$ ；

(3)、若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

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4、海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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5、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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6、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位： $t$ ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 $x$ （万元）和年销售量 $y$ （单位： $t$ ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$x$ （万元）
2
4
5
3
6
$y$ （单位： $t$ ）
2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.85$ ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{S} x_{1} y_{1} = 88.5$ ， $\sum_{i = 1}^{S} x_{1}^{2} = 90$ .

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7、杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为.

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8、已知 $4 < a < 6, 3 < b < 4$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的取值范围是.

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9、若" $x > 2$ "是" $x > m$ "的必要不充分条件，则 $m$ 的取值范围是．

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10、对于函数 $f (x) = \frac{ln x}{\sqrt{x}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (4) < f (π^{2}) < f (9)$ B、 $f (x)$ 在 $x = e^{2}$ 处取得极大值 $\frac{2}{e}$ C、 $f (x)$ 有两个零点 D、若 $f (x^{2}) < k x - \frac{2}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > e$

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11、已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表所示，且满足 $E (ξ) = 0$ ，则下列选项正确的是（）
$ξ$
-1
0
2
$P$
$a$
$\frac{1}{2}$
$b$

A、 $D (ξ) = 1$ B、 $D (| ξ |) = 1$ C、 $D (2 ξ + 1) = 4$ D、 $D (3 | ξ | - 2) = 5$

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12、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x) + f (x) \ln 2 < 0$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $2 f (1) > f (0)$ B、 $f (1) < 2 f (2)$ C、 $5 f (\log_{2} 5) < 4 f (2)$ D、 $3 f (\log_{2} 3) > 2 f (1)$

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13、“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）．

A、26种 B、31种 C、36种 D、37种

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14、在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（）

A、 $X \sim B (100, 0.05)$ B、 $X \sim B (10, 0.05)$ C、 $X \sim B (100, 0.95)$ D、 $X \sim B (10, 0.95)$

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15、已知 ${(2 - \frac{1}{x})}^{23} = a_{0} + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{22}}{x^{22}} + \frac{a_{23}}{x^{23}}$ ，则 $\frac{a_{0}}{2^{22}} + \frac{a_{1}}{2^{21}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{21}}{2} + a_{22} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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16、已知 $n$ 个不同的椭圆 $E_{i} : x^{2} + 3 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}$ ， $\dots, E_{n}$ 分别交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}$ ， $\dots, B_{n}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A_{2} B_{2}$ ；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1}, l_{2})$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .
（i）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} = 1, k_{2} = - 4$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{31}{42}$ .
（参考数据： $4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ ）

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17、已知函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0), g (x) = \frac{x - a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1)、用 $λ$ 表示 $a$ ，并求 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、已知 $h (x) = x ln x$ ，若方程 $h (x) = m$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $|x_{2} - x_{1}| < m + 1$ .

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18、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 3 sin (A + B) = 5 sin (A - B)$ .

(1)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围；

(2)、若 $c^{2} = a cos B + b cos A, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $A$ 款､ $B$ 款､ $C$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1)、若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $A$ 款玩偶的概率；

(2)、若小明只想要 $A$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $A$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $A$ 款玩偶，老板就赠送一个 $A$ 款玩偶给他.为了得到 $A$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D$ $∥$ $B C, P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = B C = 4$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值.

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ （万元）	2	4	5	3	6
$y$ （单位： $t$ ）	2.5	4	4.5	3	6

$ξ$	-1	0	2
$P$	$a$	$\frac{1}{2}$	$b$