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1、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{3, 4, 5\}$ C、 $\{1, 2, 5\}$ D、 $\{3, 4\}$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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3、为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图．

(1)、求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；

(2)、用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}, A B B_{1} A_{1}$ 均为正方形， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点D是棱的 $A_{1} C_{1}$ 中点，点O为 $A_{1} B$ 与 $A B_{1}$ 交点．

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} D$ 的距离．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = \frac{a}{2 \cos A}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}, a = 3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长和外接圆的面积；

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6、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量， $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{B E} = - \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}, \vec{E C} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，且 $A, E, C$ 三点共线．

(1)、求实数 $λ$ 的值；

(2)、已知 $\vec{e_{1}} = (2, 1), \vec{e_{2}} = (2, - 2)$ ，点 $D (3, 5)$ ，若 $A, B, C, D$ 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

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7、某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为.

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8、已知向量 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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9、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}, \vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、若 $\vec{a} = (2, 1)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量的坐标为 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、已知 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (t, 1)$ ，若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\sqrt{5} \vec{e}$ （ $\vec{e}$ 为与 $\vec{a}$ 同向的单位向量），则 $t = 2$

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10、已知非零复数 $z_{1}, z_{2}$ ，其共轭复数分别为 $\bar{z_{1}}, \bar{z_{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}} \in R$ B、 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = {|z_{1}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1}} \cdot z_{2} = z_{1} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$

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11、天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为 $4 cm$ 的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积 $V = \frac{π (3 R - h) h^{2}}{3}$ （ $R$ 为球缺所在球的半径， $h$ 为球缺的高）.若 $h = 2 cm$ ，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为（） ${cm}^{3}$

A、 $\frac{198 π}{3}$ B、 $\frac{196 π}{3}$ C、 $\frac{172 π}{3}$ D、 $\frac{173 π}{3}$

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12、如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $B^{'} C^{'} = 3$ ，则在原平行四边形ABCD中， $A D =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、9

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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14、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为 $k : 5 : 3$ ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了 $24$ 件，则C种型号产品抽取的件数为

A、 $24$ B、30 C、 $36$ D、 $40$

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15、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}, A = \frac{π}{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3π}{4}$

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16、一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　）

A、25 B、30 C、35 D、40

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17、复数z满足 $(z + 2) i = 1 - i$ （i为虚数单位），则z的模是（）

A、 $- 3$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{10}$

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18、若椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $B_{1} (0, b)$ ， $B_{2} (0, - b)$ ， $P$ 为椭圆 $Γ$ 上异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 的任一点，且 $|P B_{1}| < |B_{1} B_{2}|$ 恒成立，则称椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”.已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0) (c > 0)$ ， $\frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{5}{2}$ ，四边形 $B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}$ 的面积为4.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”，求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(3)、若椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”， $H$ 为椭圆 $Γ$ 上一点， $M (\frac{\sqrt{5}}{10}, 0)$ ，且存在实数 $λ$ ，使得 $|H F_{1}| + |H F_{2}| = λ |H M|$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (a > 0)$ 经过点 $H (2, 0)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的离心率；

(2)、若线段 $A B$ 的中点坐标为 $(3, 3)$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(3)、直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的右焦点，若以线段 $A B$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20、在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；

(2)、2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；

(3)、2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.

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