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1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对一切 $n \in N$ ， $n \geq 1$ ，点 $(n, \frac{S_{n}}{n})$ 都在函数 $f (x) = x + \frac{a_{n}}{2 x}$ 图象上.

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，归纳数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式（不必证明）：

(2)、将数列 $\{a_{n}\}$ 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为 $(a_{1})$ 、 $(a_{2}, a_{3})$ 、 $(a_{4}, a_{3}, a_{6})$ 、 $(a_{7}, a_{8}, a_{0}, a_{10})$ 、 $(a_{11})$ 、 $(a_{12}, a_{13})$ 、 $(a_{14}, a_{15}, a_{16})$ 、 $(a_{17}, a_{18}, a_{19}, a_{20})$ 、 $(a_{21})$ 、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为 $\{b_{n}\}$ ，求 $b_{5} + b_{100}$ 的值；

(3)、设 $A_{n}$ 为数列 $\{\frac{a_{n} - 1}{a_{n}}\}$ 的前n项积，若不等式 $A_{n} \sqrt{a_{n} + 1} < f (a) - \frac{a_{n} + 3}{2 a}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 都成立，求a的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = \ln x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a < e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的零点个数

(2)、记函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的最小值为m，求 $G (x) = e^{x} - e^{m} \ln x$ 的最小值.

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3、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 D C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C \cap B D = F$ 且 $△ P A D$ 与 $△ A B D$ 均为正三角形，G为 $△ P A D$ 的重心.
（1）求证： $G F //$ 平面PDC；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

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5、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $(2 b - a) cos C = c \cdot cos A$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c^{2} = 2 a b, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a + b$ 的值.

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) + f^{'} (x) =$ $e^{x} - e^{- x} + 2 x e^{x}$ ，则不等式 $f (x) + \frac{x}{e^{x}} < e$ 的解集为.

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7、在 ${(1 - 2 x)}^{5} (2 + x)$ 展开式中， $x^{4}$ 的系数为.

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8、在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

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9、设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 C、 $f (x)$ 存在两个零点 D、 $f (x)$ 在(1，+∞)上单调递增

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10、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若 $\vec{F_{1} A} = \vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} B} \cdot \vec{F_{2} B} = 0$ ，则C的离心率为（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{2022} + a_{2023} < 0$ ， $a_{2022} \cdot a_{2023} < 0$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 有最大值，那么 $S_{n}$ 取最小正值时，n等于（）

A、4043 B、4042 C、4041 D、4040

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12、“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）

A、480 B、240 C、384 D、1440

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4 \vec{b}) =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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14、椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为2，则m的值等于（）.

A、5 B、8 C、5或3 D、5或8

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15、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} a_{8} = 3$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （）

A、5 B、10 C、4 D、 $2 + \log_{3} 5$

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16、函数 $f (x) = x \cos x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $[- π, π]$ 上的图象大致为 (　　)

A、 B、 C、 D、

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17、已知复数z满足： $(2 + i) \bar{z} = 3 + 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{29}{25}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{5}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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18、对于给定的正整数n，记集合 $R^{n} = \{\vec{α}| \vec{α} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{j} \in R, j = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ，其中元素 $\vec{α}$ 称为一个n维向量．特别地， $\vec{0} = (0, 0, \cdot \cdot \cdot, 0)$ 称为零向量．设 $k \in R$ ， $\vec{α} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $\vec{β} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in R^{n}$ ，定义加法和数乘： $\vec{α} + \vec{β} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} + b_{n})$ ， $k \vec{α} = (k a_{1}, k a_{2}, \cdot \cdot \cdot, k a_{n})$ ．对一组向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{s}}$ （ $s \in N_{+}$ ， $s \geq 2$ ），若存在一组不全为零的实数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{s}$ ，使得 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{s} \vec{α_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

(1)、对 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ；② $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{γ} = (5, 1, 4)$ ；③ $\vec{α} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{β} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{γ} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{δ} = (1, 1, 1)$ ．

(2)、已知向量 $\vec{α}$ ， $\vec{β}$ ， $\vec{γ}$ 线性无关，判断向量 $\vec{α} + \vec{β}$ ， $\vec{β} + \vec{γ}$ ， $\vec{α} + \vec{γ}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．

(3)、已知 $m (m \geq 2)$ 个向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{m}}$ 线性相关，但其中任意 $m - 1$ 个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ），则这些系数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ ， $l_{1} \vec{α_{1}} + l_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + l_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $l_{1} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ）同时成立，其中 $l_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{k_{1}}{l_{1}} = \frac{k_{2}}{l_{2}} = \cdot \cdot \cdot = \frac{k_{m}}{l_{m}}$ ．

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19、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (a, 4)$ 在抛物线C上， $△ P O F$ （其中O为坐标原点）的面积为4．

(1)、求a；

(2)、若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 $\frac{4}{3}$ ，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．

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20、如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $△ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C, D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $/ /$ 平面 $S A C$ ；

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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