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1、已知函数 $f (x) = 2 x - 2 (a + 2) \sqrt{x} + a \ln x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = \frac{π}{3}, B C = 4, E$ 为棱 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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3、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{7} = - 3$ ， $S_{9} = 3 a_{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = |a_{n}|$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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4、已知 $f (x) = x^{2} \ln x$ 当 $0 < x_{1} < x_{2} < e$ 时， $m (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) < f (x_{1}) - f (x_{2})$ 恒成立，则m的取值范围是

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} + m$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \dots + \frac{b_{n}}{n} = n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = - 1$ B、设 $f (n) = \frac{{a_{n}}^{2} + 36}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f (n)$ 的最小值为12． C、若 $t a_{n} - b_{n} + 2 > 0$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $t > \frac{1}{8}$ D、设 $c_{n} = \frac{a_{n} (1 - b_{n})}{b_{n} b_{n + 1}}$ 若数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 2$

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 ${l n T_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}}$ 是等比数列

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7、数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} = \log_{2} (F_{n} - 1)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使不等式 $\frac{2^{2}}{S_{1} S_{2}} + \frac{2^{3}}{S_{2} S_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2^{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} < \frac{2024}{4049}$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式为 $a_{n} = 3 n - 27$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 105$ B、 $- 108$ C、 $- 115$ D、 $- 118$

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9、已知函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $f (x)$ 的图象如下，则其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{15} + a_{2010} = 1$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、1013 C、2024 D、2025

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11、若 $f^{'} (x_{0}) = - 2$ ，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - 2 h)}{h} =$ （）

A、 $- 12$ B、 $- 9$ C、 $- 6$ D、 $- 3$

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12、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 的短轴长为2．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 过点 $D (0, \frac{1}{2})$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，又点 $P$ 是椭圆 $C$ 的下顶点，当 $△ P M N$ 面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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13、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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14、如图，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $△ V B C$ 为等边三角形．

(1)、求证： $B C ⊥ V D$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - V$ 的大小为 $60^{°}$ ，求直线 $V A$ 与平面 $V B C$ 所成角的正弦值．

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15、设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 ${a_{n}}$ 的公比；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x, P$ 为 $C$ 上一点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，当 $|\frac{P B}{P A}|$ 最小时，点 $P$ 到坐标原点的距离为.

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17、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x} - \ln x$ 的单调递增区间是．

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18、已知 $P (B| A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B A) = \frac{3}{8}$ ，则 $P (A)$ 的值为．

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19、已知 ${(2 - x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 1$ C、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{8}| = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 8 a_{8} = - 8$

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20、某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A、若任意选择三门课程，选法总数为 $A_{7}^{3}$ B、若物理和化学至少选一门，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{6}^{2}$ C、若物理和历史不能同时选，选法总数为 $C_{7}^{3}$ － $C_{5}^{1}$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{1}$

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