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1、 $\forall x$ ， $y \in R$ ，非常数函数 $f (x)$ 都有 $f (x + y) + f (x) f (y) = f (x y + 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、若 $f (2) \neq 1$ ， $f (x)$ 是偶函数 C、若 $f (2) = f (- 2) = 1$ ，则 $f (2 k + 1) = 0 (k \in Z)$ D、 $f (2)$ 的值不可能是 $3$

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2、按指对数运算律定义两个函数 $f (x) = x^{x} (x \in R^{+})$ 与 $g (x) = \log_{x} 2 x (x \in (1, + \infty))$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在定义域上单调递增 B、 $g (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $\frac{3}{5} < f {(x)}_{\min} < \frac{4}{5}$ D、若存在 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{e}$

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3、已知一组样本数据： $- 1, 5, a, b$ .其中 $a \leq 0$ ， $b \geq 0$ ，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）

A、序列不可能既是等比数列又是等差数列 B、若成等比数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 C、若成等差数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 D、若该数据平均数是 $1$ ，则方差最小值为 $\frac{21}{4}$

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4、平面直角坐标系 $x O y$ 中，若过点 $A_{k} (\frac{k π}{2}, 0)$ ， $k \in Z$ 作斜率不为0的直线 $l_{k}$ ，使得 $l_{k}$ 与正弦曲线 $y = \sin x$ 的交点中，存在点 $P_{k}$ ， $Q_{k}$ 满足 $P_{k}$ 是线段 $A_{k} Q_{k}$ 的中点，则称 $l_{k}$ 是曲线 $y = \sin x$ 的“平均割线”， $P_{k}$ 为“平衡点”，则对任何一个整数 $k$ ，下列描述正确的是（）

A、 $k$ 为偶数时，存在“平均割线” B、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则 $l_{k}$ 唯一 C、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点”共线 D、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点” $P_{k, j} (x_{k, j}, y_{k, j})$ ， $j \in N^{+}$ 中间隔相等， ${x_{k, j}}$ 按从小到大顺序排列成等差数列

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ ， $B$ 点，且 $\vec{A B} = \frac{5}{3} \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $2$

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6、某城市随机选取 $n$ 个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于 $50 %$ ，则至少需要选取（）个人.

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7、 ${(x^{2} - \frac{1}{x} + y)}^{6}$ 的展开式中 $x y$ 的系数为（）

A、 $30$ B、 $- 30$ C、 $60$ D、 $- 60$

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8、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin (α + β) = \frac{5}{6}$ ， $\tan α = 4 \tan β$ ，则 $α - β =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9、已知古典概型的样本空间 $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， “事件 $A = {1, 2}$ ”，则命题“事件 $B = Ω$ ”是命题“事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = | z |$ ，则 $\frac{z}{| z |}$ 的实部为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、已知集合 $A = {y | y = \lg (x^{2} - x - 2)}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x^{2} - x + 2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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12、已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} - 3 x + a$ ， $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{3}{4} - ln 2$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} a_{n + 1} = f (a_{n}) + 3 a_{n} - 1$ ，且 $a_{1} = \frac{4}{3}$ ．
（ⅰ）当 $n \geq 2, n \in Z$ 时，比较 $a_{n}$ 与1的大小，并说明理由；
（ⅱ）求证： $3 \sum_{i = 1}^{n} |1 - a_{i}| < 2$ ．

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x - 1$ ．

(1)、当 $a = - 5$ 时，则过点 $(0, 2)$ 的曲线 $f (x)$ 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求实数a的取值范围．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $(n + 1) a_{n} = n b_{n}$ ，且 $a_{n + 1}$ 是 $b_{n}$ 与 $b_{n + 1}$ 的等比中项．

(1)、若 $a_{1} + a_{2} = 4$ ，求 $b_{1}$ 的值；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，设数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ．
（ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；
（ⅱ）求 $T_{n} - S_{n}$ ．

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15、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $a sin C = \frac{1}{2}$ ，且 $a \cos C + c \cos A = 1$ ，

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求A．

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16、近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．

(1)、完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计

(2)、根据小概率值 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
α
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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17、若 $x = 2$ 是函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} + a (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x)$ 的极大值点，则实数a的取值范围为．

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18、已知函数 $f (x) = | ln| x + 2 | | - m$ ， m为正的常数，则 $f (x)$ 的零点之和为．

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19、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 2, c = 3, cos (B + C) = - \frac{2}{3}$ ，则 $a =$ ．

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 不恒为0，且 $\frac{f (x) + f (y)}{2} = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ ，则（）

A、 $f (0)$ 可以等于零 B、 $f (x)$ 的解析式可以为： $f (x) = cos 2 x$ C、曲线 $f (x - 1)$ 为轴对称图形 D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} f (k) = 20$

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	有报考意向	无报考意向	合计
男学生
女学生
合计

α	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828