相关试卷

1、如图在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ C A B = ∠ A C B$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A B O ∽ △ B E O$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，求 $O E$ 的长．

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2、数学兴趣小组借助无人机测量河道某处宽度．如图所示，在河岸边的 $C$ 处，兴趣小组令一架无人机沿 $67 °$ 的仰角方向飞行 $130$ 米到达点 $A$ 处，测得此时河对岸 $D$ 处的俯角为 $32 °$ ．点 $B ， C ， D$ 在同一条直线上．

(1)、求无人机的飞行高度（点 $A$ 到 $C D$ 的距离）；

(2)、求河宽 $C D$ ．（参考数据∶ $sin 32 ° \approx \frac{17}{32}$ ， $\cos 32 ° \approx \frac{17}{20}$ ， $\tan 32 ° \approx \frac{5}{8}$ ， $sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ）

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3、已知 $y = y_{1} + y_{2}$ ， $y_{1}$ 与 $(x - 1)$ 成反比例， $y_{2}$ 与 $x$ 成正比例，且当 $x = 2$ 时， $y_{1} = 4$ ， $y = 2$ ．求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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4、计算： $3 \tan 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt[3]{8}$ ．

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5、综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片 $A B C D$ ， $A B = 24$ ， $B C = 20$ ，他在边 $B C$ 上取中点N，又在边 $A B$ 上任取一点M，再将 $△ B M N$ 沿 $M N$ 折叠得到 $△ B^{'} M N$ ，连接 $A B^{'}$ ． $A B^{'}$ 达到最小值时，求 $B M =$ ．

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6、如图，菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $E F$ 垂直 $A B$ 交 $A B$ 延长线于点 $F$ ，若 $\frac{B G}{C G} = \frac{1}{3}$ ， $E F = 2 \sqrt{5}$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $\frac{14}{5} \sqrt{5}$ C、5 D、6

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7、文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 6 x + y = 5 y + x \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 6 x + 5 y = 16 \\ 5 x + y = 4 y + x \end{matrix}$

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8、一个物体的三视图如图所示，根据图中的数据，可求这个物体的侧面积为（）

A、 ${24πcm}^{2}$ B、 ${12πcm}^{2}$ C、 ${60πcm}^{2}$ D、 ${44πcm}^{2}$

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9、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心．已知 $O A : A D = 2 : 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的相似比为（　　）

A、 $2 : 3$ B、 $1 : 3$ C、 $2 : 1$ D、 $3 : 2$

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10、将抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = {(x - 4)}^{2} - 6$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} - 2$

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11、在平面直角坐标系中，点 $A (2, - 3)$ 与点 $B (a, b)$ 关于y轴对称，则（）

A、 $a = 2$ ， $b = - 3$ B、 $a = 2$ ， $b = 3$ C、 $a = - 2$ ， $b = - 3$ D、 $a = - 2$ ， $b = 3$

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12、2024年“十一”黄金周，某旅游城市共接待游客大约 $1680000$ 人次，这个数用科学记数法可表示为（　　）

A、 $0.168 \times 10^{7}$ B、 $1.68 \times 10^{6}$ C、 $16.8 \times 10^{5}$ D、 $16.8 \times 10^{6}$

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13、如果把收入 $2025$ 元记作 $+ 2025$ ，那么支出 $2025$ 元记作（　　）

A、 $2025$ B、 $\frac{1}{2025}$ C、 $|2025|$ D、 $- 2025$

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14、阅读材料：已知 $a$ ， $b$ 为非负实数，∵ $a + b - 2 \sqrt{a b} = {(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} - 2 \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当“ $a = b$ ”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知 $x > 0$ ，求函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值．
解：令 $a = x$ ， $b = \frac{4}{x}$ ，则由 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，得 $y = x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$ ．
当且仅当 $x = \frac{4}{x}$ ，即 $x = 2$ 时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：

(1)、用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？

(2)、已知 $m > 1$ ，则当 $m =$ _____时，代数式 $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 取到最小值，最小值为_____；

(3)、已知 $x$ 为任意实数，代数式 $\frac{x}{x^{2} + 2 x + 3}$ 的值为 $y$ ，求 $y$ 的最大值和最小值．

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15、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 12 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 以 $1cm / s$ 的速度向点 $B$ 移动；同时，点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B C$ 以 $2 cm / s$ 的速度向点 $C$ 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、在运动过程中， $P Q$ 的长度能否为 $3 \sqrt{5} cm$ ？若能，求出 $t$ 的值，若不能，请说明理由；

(2)、在运动过程中， $△ P D Q$ 的面积能否为 $10 {cm}^{2}$ ？若能，求出 $t$ 的值，若不能，请说明理由；

(3)、取 $P Q$ 的中点 $M$ ，运动过程中，当 $∠ A M D = 90 °$ 时，求 $t$ 的值．

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16、（1）如果关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - \sqrt{2 k + 1} x + 1 = 0$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围．
（2）如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ ，求 $m$ 的值．

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17、如果一元二次方程 $x^{2} - 2 n x + 9 n - 27 = 0$ 有两个有理根，其中 $n$ 为自然数，则 $n =$ ．

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18、若 $a = \frac{1}{\sqrt{26} - 5}$ ，则 $a^{3} - 11 a^{2} + 9 a + 8$ 的值为．

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19、如图，一块长方形场地 $A B C D$ 的长 $A B$ 与宽 $A D$ 的比为 $3 : 1$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ ， $D F$ ，则四边形 $D E B F$ 与长方形 $A B C D$ 的面积比为．

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20、把一元二次方程 $x (x + 2) = - 3$ 化成一般形式是．

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