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1、从多边形的一个顶点出发可引出 $5$ 条对角线，则它是（）

A、七边形 B、八边形 C、九边形 D、十边形

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2、已知平行四边形 $A B C D$ ， $∠ B A D = α$ ，点E为对角线 $B D$ 上一动点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为一边在 $A E$ 的右侧作 $△ A E F$ ，使 $∠ A E F = α$ ，连接 $D F$ ．

(1)、若 $A B = A D$ 且 $α = 60 °$ ，当 $A E = E F$ ，如图①，求此时 $∠ A D F$ 度数；

(2)、若 $A B = A D$ 且 $α = 90 °$ ，当 $A E = E F$ ， $B E > D E$ 时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由；

(3)、如图③若 $A B = 4$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ 且 $α = 90 °$ ， $∠ A F E = 30 °$ ，当 $△ C E F$ 是以 $E F$ 为底的等腰三角形时，直接写出 $△ B C E$ 的面积．

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3、如图1，已知抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为第一象限抛物线上的一动点，作 $P H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，当 $P H$ 最大时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，将抛物线 $C_{1}$ 向右平移一个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ，点 $M$ ， $N$ 都在抛物线 $C_{2}$ 上，且分别在第一象限和第三象限，连接 $M N$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $E 、 F$ ，若 $∠ N O F = ∠ M O E$ ，求证：直线 $M N$ 经过一定点．

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4、如果一个三角形的三边长 $a, b, c$ 均为偶数，且满足 $a < b < c$ ，则称该三角形为“幸运三角形”．当 $b = 8$ 时，则“幸运三角形”有个；当 $b = 2 n$ （ $n$ 为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有个．（用含n的代数式表示）

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5、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ，点E是 $A B$ 的中点，点F为 $A D$ 上一动点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 折叠，得到 $△ A^{'} E F$ ．若 $A^{'} E$ 与菱形 $A B C D$ 的对角线平行，则 $D F$ 的长为．

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6、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A E$ 是以 $B C$ 为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点 $P$ ，则点落在阴影部分的概率是．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x - 4$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象交于 $A (6, m), B (- 2, n)$ 两点，交 $x$ 轴于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若 $P$ 为反比例函数 $y = \frac{a}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，当 $S_{△ P A B} = 2 S_{△ A O B}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、在 $y$ 轴上存在一点 $M$ ，使 $△ D C M$ 与 $△ A O D$ 相似，求 $M$ 点的坐标．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， E为 $A B$ 上一点，作 $E F ∥ B C$ ，与 $A C$ 交于点 $F$ ，经过点A、E、F的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $D$ ，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $A E = 10 ， B E = 8$ ，求 $A C$ 及 $A D$ 的长．

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9、如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 $D E$ 、箱长 $B C$ 、拉杆 $A B$ 的长度都相等，即 $D E = B C = A B$ ，点 $B$ ， $F$ 在线段 $A C$ 上，点 $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F = 24 cm$ ， $C E : C D = 1 : 2$ ， $∠ D C F = 45 °$ ， $∠ C D F = 30 °$ ．请根据以上信息，解决下列问题：

(1)、求 $A C$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $E D$ 的垂直距离（结果保留到 $1 cm$ ）．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73, \sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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10、为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角 $β =$ _____度；

(2)、已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？

(3)、李老师计划从 $A, B, C, D$ 四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中 $A, B$ 两人的概率．

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11、（1）计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - |\sqrt{3} - 2| + {(\sqrt{2} - 2025)}^{0} - 2 cos 30 °$ ；
（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 2) \leq 4 \\ \frac{2 x - 1}{3} \geq \frac{3 x + 2}{6} - 1 \end{matrix}$

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点 $E$ ；③作射线 $A E$ 交 $B C$ 于点D；④以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交 $A B$ 的延长线于点H，连接 $D H$ ，则 $△ B D H$ 的周长为．

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13、若点 $A (- 3, y_{1}), B (- 1, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是．

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14、分解因式： $x^{3} - x =$ ．

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15、电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（）

A、 $0.153 \times 10^{11}$ B、 $1.53 \times 10^{10}$ C、 $15.3 \times 10^{9}$ D、 $1.53 \times 10^{11}$

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16、已知： $a b = 2$ ， $a + b = 4$ ．求：

(1)、 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、 ${(a - b)}^{2}$ 的值；

(3)、 $a^{4} + b^{4}$ 的值．

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17、如图，直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 被直线 $d$ ， $e$ 所截，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，试说明 $a ∥ c$ ．

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18、已知：如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $E O ⊥ A B$ ，垂足为 $O$ ， $∠ A O D = 125 °$ ，求 $∠ E O C$ 的度数．

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19、已知一个角的余角比这个角的补角的 $\frac{1}{3}$ 小 $20 °$ ，求这个角的度数．

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20、用简便方法计算：

(1)、 $100.2 \times 99.8$

(2)、 $2024^{2} - 2023 \times 2025$

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