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1、算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 $A =$ “表示的四位数能被3整除”， $B =$ “表示的四位数能被5整除”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{8}$ B、 $P (B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A \cup B) = \frac{11}{16}$ D、 $P (A B) = \frac{3}{16}$

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2、 ${(x^{2} - x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、30 B、 $- 30$ C、20 D、 $- 20$

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3、已知a为实数，则“ $a + \frac{1}{a} \geq 2$ ”是“ $0 < a \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $\vec{P D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$

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5、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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7、某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， $\overset{⌢}{P Q}$ ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， $\overset{⌢}{P Q}$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{6}$ .记∠PCA＝ $2 θ$ （道路宽度均忽略不计）.

(1)、求新路总长度 $f (θ)$ 的解析式；

(2)、求新路总长度的最小值．

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8、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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9、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = 1$ ， $|\vec{e_{2}}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ．

(1)、求 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ ；

(2)、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}}$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 的值；

(3)、若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $|λ \vec{e_{1}} - \vec{c}| (λ \in R)$ 的最小值．

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10、 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{m} - 2 \vec{n}| =$ .

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11、已知 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、 $△ P C D$ 的面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、存在 $λ$ ，使得 $|\vec{P C}| < |\vec{A P}|$ C、 $\cos ∠ C P D \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $\vec{P C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是 $[0, \sqrt{3}]$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x + \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 上恰有一个根，则 $m$ 的取值范围为 $(- 1, - \frac{3}{4}]$

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13、若 $\tan 35 ° = m$ ，则 $\frac{1 + \sin 20 °}{\cos 20 °} =$ （）

A、 $\frac{1 + m}{1 - m}$ B、 $\frac{1 - m}{1 + m}$ C、 $\frac{1}{m}$ D、 $m$

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14、若 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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15、已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（）

A、A、B、D三点共线 B、A、B、C三点共线 C、B、C、D三点共线 D、A、C、D三点共线

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的终边经过点 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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17、 $\sin 37^{\circ} \cos 7^{\circ} - \cos 37^{\circ} \sin 7^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、 $\cos \frac{26 π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $A B = 5, C E = 3, ∠ A E B = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $B C$ ；

(2)、若动点 $M, N$ 分别在线段 $E A, E B$ 上，且 $△ E M N$ 与 $△ E A B$ 面积之比为 $(\sqrt{2} + 1) : 4$ ，试求 $M N$ 的最小值.

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20、已知：斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥ A C$ ， $A A_{1}$ 与面 $A B C$ 所成角正切值为 $2$ ， $A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且点 $E$ 向平面 $A B C$ 所作投影在 $△ A B C$ 内．

(1)、求证： $A C ⊥ E B$ ；

(2)、 $F$ 为棱 $A A_{1}$ 上一点，且二面角 $A - B C - F$ 为 $30^{\circ}$ ，求 $\frac{A F}{A A_{1}}$ 的值．

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