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1、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω$ 的值为.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x, x \leq 0 \\ a x^{3} + x, x > 0 \end{array}$ ，若不等式 $f (x - 1) \geq f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都成立，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{32}{27}$ B、 $- \frac{16}{27}$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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3、已知两个正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则下述结论正确的是（）

A、 $|a - 1| = |b - 1|$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ C、 $lg a \geq lg \frac{1}{b}$ D、 $b - \frac{4}{a^{2}} < - 1$

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4、设四个复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = i (1 + 3 i)$ ， $z_{3} = - 2 + \sqrt{6} i$ ， $z_{4} = a - 3 i (a > 0)$ 在复平面 $x O y$ 内的对应点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）

A、 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 B、点 $Z_{3}$ 在第二象限 C、复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部是 $- \frac{3}{5}$ D、 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{4}}$

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递减，且满足 $f (4 + x) + f (x) = 2 f (- 2)$ ，函数 $y = f (x - 2)$ 的对称中心为 $(4, 0)$ ，则下述结论正确的是（）（注： $ln 3 \approx 1.099$ ）

A、 $f (2024) = 0$ B、 $f (1) + f (\frac{7}{2}) > 0$ C、 $f (3) > f (2 {log}_{2} 48)$ D、 $f (4 sin 1) > f (ln \frac{1}{9})$

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6、已知函数 $f (x) = sin (π x - \frac{π}{6})$ ，当 $x \in [0, 20]$ 时，把 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 的所有交点的横坐标限依次记为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ ，记它们的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{1160}{3}$ B、 $\frac{580}{3}$ C、 $\frac{560}{3}$ D、 $\frac{280}{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上的中点，点 $F$ 满足 $\vec{D F} = 2 \vec{F E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ B、 $\vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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8、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - x^{\frac{1}{5}}$ ，那么在下列区间中含有函数 $f (x)$ 零点的是（）

A、 $(0, \frac{1}{5})$ B、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, 1)$ D、 $(1, 4)$

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9、设 $a, b \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} > b > 0$ ”是“ $a < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $cos α cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan α tan β =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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12、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似为 $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，该函数满足 $f (0) = R (0), f^{'} (0) = R^{'} (0), f^{″} (0) = R^{″} (0), \dots, f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ．
注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, f^{(3)} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ．
设函数 $f (x) = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的 $[0, 1]$ 阶帕德近似为 $R (x)$ ．

(1)、求 $R (x)$ 的解析式；

(2)、证明：当 $x < 1$ 时， $f (x) \leq R (x)$ ；

(3)、设函数 $g (x) = e^{x} - \frac{1}{1 - x + k x^{2}}$ ，若 $x = 0$ 是 $g (x)$ 的极大值点，求k的取值范围．

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13、已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 $A (- 2, 0)$ ， $B (- 4, 3)$ 两点．

(1)、求C的方程；

(2)、设P，M，N三点在C的右支上， $B M ∥ A P$ ， $A N ∥ B P$ ，证明：
（ⅰ）存在常数 $λ$ ，满足 $\vec{O M} + \vec{O N} = λ \vec{O P}$ ；
（ⅱ） $△ M N P$ 的面积为定值．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, △ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A D = 2$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $P C$ 的长．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $2 c \cos C \cos B + 2 b \cos^{2} C = a$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $\frac{3}{a^{2} + b^{2} - a b} = \cos C + \cos A \cos B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数， \\ \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 2}}, n 为偶数， \end{array}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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17、已知实数x，y满足 $2 x = {(\frac{4}{3})}^{\log_{2} x} - 3^{1 + \log_{2}^{x}}, 3 y = {(\frac{4}{3})}^{\log_{3} y} - 2^{1 + \log_{3} y}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ．

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18、已知 $A B \subset$ 平面 $α, A C ⊥$ 平面 $α, B D ⊥ A B, B D$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，且 $C$ ， $D$ 两点在平面 $α$ 的同一侧， $B D = A B = 2, A C = 3$ ，则 $C D =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $3$ ，则实数 $a =$ ．

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20、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2} - 1}{3 a_{n} - 5}$ 且 $a_{1}^{4} - k a_{1}^{3} - k a_{1} - 1 = 0$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $k = \frac{3}{2}$ ，则 $a_{2024} = 3$ B、若 $a_{2024} = 3$ ，则 $k = \frac{3}{2}$ C、若 $k = \frac{8}{3}$ ，则 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ D、若 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ ，则 $k = \frac{8}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

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