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1、下列说法中正确的有（）

A、将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 B、已知随机变量X服从二项分布 $B (n, P)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $P = \frac{2}{3}$ C、设随机变量 $X ~ N (3, 2^{2})$ ，则 $E (\frac{1}{2} X + 1) = \frac{5}{2}$ ， $D (\frac{1}{2} X + 1) = 2$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.4 x + 3$ ，则c，k的值分别是 $e^{3}$ 和0.4

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2、某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{32}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{32}$

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3、抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点 $P (2 \sqrt{2}, 5)$ 且平行于 $y$ 轴的一条光线射向抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的 $A$ 点，经过反射后的反射光线与 $C$ 相交于点 $B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、9 C、36 D、 $\frac{9}{2}$

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4、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $- \frac{9}{25}$

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5、已知集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，则如图中的阴影部分表示（）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$

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6、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = 2 x^{2} (- 1 \leq x \leq 1)$ 是否为 $f (x) = 1 + sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array} (a \geq 0)$ ，为 $f (x) = {log}_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[2]= 2,[- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、连接 $D B_{1}$ 交 $B D_{1}$ 于点 $G$ ，求三棱锥 $G - A E C$ 的体积；

(3)、已知点 $F$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $P$ 为平面 $B B_{1} D_{1} D$ 内的一个动点，若 $F P / /$ 平面 $E A C$ ，求 $F P$ 长度的最小值．

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8、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上的值域．

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10、球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为 $R$ ，球冠的高是 $h$ ，球冠的表面积公式是 $S = 2 π R h$ ，与之对应的球缺的体积公式是 $V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 R - h)$ ．如图2，已知 $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的圆上的两点， $∠ A O C = ∠ B O D = \frac{π}{3}, S_{扇形 C O D} = \frac{2}{3} π$ ，则扇形 $C O D$ 绕直线 $A B$ 旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为．

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11、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 $A B = 2, P$ 为弧 $A C$ （含端点）上的一点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C P}$ 的范围为．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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13、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是偶函数 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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14、已知 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $a$ ， $b$ 为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（）

A、 $α // β, a \subset α, b \subset β \Rightarrow a // b$ B、 $a \subset α, b \cap α = A \Rightarrow a, b$ 为异面直线 C、 $a // b, a // α, b ⊄ α \Rightarrow b // α$ D、 $b // α, a \subset α \Rightarrow a // b$

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}$ ，则 $\frac{a^{2} + c^{2}}{a c}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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16、若函数 $f (x) = ln [(a - 1) x + 1]$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $[\frac{2}{3}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 3, t)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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18、 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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19、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 3) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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