湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

试卷日期：2025-03-23 考试类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (x + 4) < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, 3)$

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2. 若命题“ $\exists x \in [0, 2]$ ， $x^{2} \geq m$ ”是真命题，则（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \leq 4$ C、 $m > 0$ D、 $m > 4$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{x} + 3^{x} - 8$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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4. 要得到函数 $y = - s i n 2 x$ 的图象，只需要将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知 $tan α = 2$ ，则 $cos 2 α + 3 {sin}^{2} α =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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7. 下列不等关系正确的是（）

A、 $2^{ln 3} < 3^{ln 2}$ B、 ${log}_{2} 3 < {log}_{4} 5$ C、 ${0.3}^{0.2} < {0.2}^{0.3}$ D、 ${log}_{0.3} 0.2 < {log}_{2} 3$

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8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{1 - x} + |x - 1|$ ，使得不等式 $f (2 m + 1) < f (m + 2)$ 成立的实数m的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若正实数p，q满足 $p + 2 q = 3$ ，则（）

A、pq的最小值是 $\frac{9}{8}$ B、 $\sqrt{p} + \sqrt{2 q}$ 的最大值是 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 的最小值是 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{3}$ D、 $p^{2} + 8 q^{2}$ 的最小值是6

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x|} + 1, x < 1 \\ x^{2} - 4 x + 6, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = m$ 有四个不等的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 有最小值2 B、m的取值范围是 $2 < m \leq 3$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4$ D、方程 $f (f (x)) = \frac{5}{2}$ 有4个不同的解

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{|sin x|} + \frac{1}{|cos x|}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，则a的取值范围为.

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13. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足： $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (8) = 5$ ，则 $f (2025) =$ .

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P, Q$ 分别为边 $A B, D A$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 所在直线上的点，且满足 $\vec{B M} = k \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = m \vec{C D}$ ，其中k， $m \in (- 1, 1)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A D}$ .

(1)、当 $k = \frac{1}{2}$ ， $m = \frac{1}{3}$ 时，用向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ ；

(2)、当 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $k = m$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围.

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16. 计算：

(1)、已知 $2^{a} = 3$ ， ${log}_{4} 3 = b$ ，求 $2^{a - 2 b}$ 的值；

(2)、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $sin (\frac{7 π}{6} + 2 α)$ 的值；

(3)、若正实数 $x, y, z$ 同时满足下列三个方程 ${log}_{2} (\frac{x}{y z}) = \frac{1}{2}$ ， ${log}_{2} (\frac{y}{x z}) = \frac{1}{3}$ ， ${log}_{2} (\frac{z}{x y}) = \frac{1}{4}$ ，求 ${log}_{2} (x^{2} y z)$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 x) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x + a$ 的最大值为 $3 .$

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, π]$ 的单调递增区间；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, m)$ 上有9个零点，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = {log}_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 9^{x} + 9^{- x} + m \cdot 3^{f (x)} - 1$ ， $x \in [0, {log}_{3} 2]$ 是否存在实数m使得 $g (x)$ 的最小值为0，若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N_{+})$ ．

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x)$ ， $f_{4} (x)$ ， $f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k$ ， $k \in N_{+}$ 时， $f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需要写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+}$ ，使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a (sin x + cos x) - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围．

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