广东省汕头市2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试题

试卷日期：2025-02-26 考试类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、不存在

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2. “ $\log_{3} a > \log_{3} b$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 要得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象，只要将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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4. 在 $(x - 2021) (x + 2022) (x - 2023) (x + 2024) (x - 2025)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 2025$ B、 $- 2023$ C、 $- 2021$ D、 $2025$

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5. 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $6 \sqrt{2} π$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 设 $a \in R$ ，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 2$ 在 $(1, 2)$ 内存在极值点，则a的取值范围是（）

A、 $[3, \frac{9}{2}]$ B、 $(3, \frac{9}{2})$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$

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7. 如果圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 4 = 0$ 关于直线l对称，则直线l的方程为（）

A、 $y = - x - 2$ B、 $y = - x$ C、 $y = - x$ 或 $y = x + 2$ D、 $y = x + 2$

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8. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（）

A、 $A_{1}$ 与B相互独立 B、 $P (B |A_{2}) = \frac{2}{11}$ C、 $P (B) = \frac{3}{10}$ D、 $P (A_{3} |B) = \frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $z_{0} = 1 - i$ ， $z = x + y i$ （x， $y \in R$ ），则下列结论正确的是（）

A、方程 $|z - z_{0}| = 2$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B、方程 $|z - z_{0}| + |z - \bar{z_{0}}| = 2$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C、方程 $|z - z_{0}| - |z - \bar{z_{0}}| = 1$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D、方程 $|z + \frac{1}{2} (z_{0} + \bar{z_{0}})| = |z - z_{0}|$ 表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{A E}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{B F}$ ， $\vec{A_{1} B_{1}} = - 3 \vec{B_{1} H}$ ， $\vec{C_{1} B_{1}} = - 3 \vec{B_{1} G}$ ，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（）

A、平面 $E F G H / /$ 平面 $A_{1} A C$ B、平面 $E F G H / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ C、平面 $E F G H ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ D、平面 $E F G H ⊥$ 平面 $A_{1} B D$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = \tan \frac{π}{4} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $f (\frac{4}{3}) = \sqrt{3}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[2023, 2025]$ 上单调递增 D、当 $x \in [0, 201]$ 时，方程 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的所有解的和为 $9050 \frac{2}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.9520$ 、模型②的决定系数为 $R_{2}^{2} = 0.9781$ ；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是．（填“甲”或“乙”或“丙”）

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13. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为．

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14. 已知曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 2$ 在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ．

(1)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，当 $m = 1024$ 时，求 $S_{12}$ ；

(2)、若 $a_{6} = 4$ ，求m所有可能的取值集合M．

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16. 已知向量 $\vec{m} = (sin A, cos A)$ ， $\vec{n} = (cos B, sin B)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = sin 2 C$ ，且角A、B、C分别为 $△ A B C$ 三边a、b、c的对角．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $sin A$ 、 $cos C$ 、 $sin B$ 成等比数列，且 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 18$ ，求 $△ A B C$ 边c上的高h．

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17. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，二面角 $E - A B - D$ 与二面角 $E - C D - A$ 的大小相等．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $C D E$ 与平面 $B C E$ 的夹角的余弦值．

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18. 已知 $△ A P Q$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，其中 $A (1, 2)$ ．

(1)、当 $△ A P Q$ 是直角三角形且 $∠ A = 90 °$ 时，证明直线 $P Q$ 过定点；

(2)、设直线 $P Q$ 过点 $T (5, - 2)$ ，是否有在以弦 $P Q$ 为底边的等腰 $△ A P Q$ ？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由．

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19. 若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线 $y = \frac{1}{x}$ 具有垂直渐近线 $x = 0$ ；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 存在两条斜渐近线 $y = \pm 2 x$ ．

(1)、请判断正弦曲线 $y = \sin x$ 是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由；

(2)、证明曲线 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 存在垂直渐近线 $x = 0$ 、斜渐近线 $y = x$ ；

(3)、求曲线 $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x - 3}$ 的渐近线，并作出曲线 $y = g (x)$ 的简图．

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