2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题

试卷日期：2025-04-18 考试类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）

A、－1－i B、－1＋i C、1－i D、1＋i

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2. 已知 $A = \{x |{log}_{2} x \geq - 1\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 2]$ B、 $(0, 2]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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3. 对于数列 $\{a_{n}\}$ ， “ $a_{n} = k n + b$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分非必要条件； B、必要非充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要条件.

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $|\sqrt{3} \vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 若 $O$ 为坐标原点， $A (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，当 $O A$ 绕 $O$ 点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 至 $O A^{'}$ 时， $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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6. 在数列 $\{2^{n}\}$ 的项 $2^{i}$ 和 $2^{i + 1}$ 之间插入 $i$ 个 $i (i = 1, 2, 3, \dots, i \in N^{*})$ 构成新数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、13 B、 $2^{13}$ C、14 D、 $2^{14}$

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7. 若函数 $f (x) = ln (x - 1) + x^{2} + a x$ 的图象上存在两个不同点，使得 $f (x)$ 在这两点的切线与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 垂直，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $R$

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8. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ 且 $S A = A B = A C = \sqrt{2}$ ，若在 $△ S B C$ 内（包括边界）有一动点 $P$ ，使得 $A P$ 与平面 $S B C$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、6

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B、数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = x - 3$ ，其中 $\bar{x} = 8.2$ ，去除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点 $(9, 5)$ C、若随机变量 $ζ \sim N (1, σ^{2})$ ，则函数 $f (x) = P (x \leq ζ \leq x + 2)$ 为偶函数 D、在 $2 \times 2$ 列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 $χ^{2}$ 变为原来的3倍（ $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

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10. 函数 $f (x) = |sin x| + |cos x|$ ，则（）

A、函数最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $x = π$ 是函数的一条对称轴 C、函数图象有对称中心 D、若 $f (x) = m, x \in [0, 2 π)$ 有四个解，则 $m = 1$

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11. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $E$ 的右支于 $A$ ， $B$ 两点，则下列命题错误的是（）

A、在直线 $F_{1} A$ 上取不同于 $A$ 的点 $C$ ，若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = {\vec{B A}}^{2}$ ，则 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为1 B、若直线 $l$ 的斜率存在，则斜率范围为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、当直线 $l$ 的斜率为 $- 1$ 时， $△ A B F_{1}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ D、 $P$ 为双曲线右支上任意一点，过 $P$ 作 $⊙ D : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，切点分别为H，K，则 $\vec{P H} \cdot \vec{P K}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在递增等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{3} = 1$ ， $a_{1} + a_{5} = \frac{10}{3}$ ，则 $a_{7} =$ ．

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13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，则 $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为．

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14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍， $E F / / A B$ ，侧面 $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有对；若 $A B = A D = 4$ ， $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{11}$ ，则该刍甍的体积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ．

(1)、角 $B$ ， $C$ 所对的边为 $b$ ， $c$ ，若 $c cos C = b cos B$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $A D = 2$ ，当 $△ A B C$ 的面积最大时，求 $\sin ∠ B A C$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是一个等边三角形，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P B = A B = 4$ ， $A D = 2$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值．

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17. 2022年，商汤科技（Sense Time）软件公司研制的第一款AI下棋机器人——象棋专业版“元萝卜Sense Robot”问世.2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推介这款机器人，该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由于活动中心机器人的数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人在第 $k$ 次被抽中的概率为 $P_{k} = \frac{11 - k}{20}$ （ $k$ 取1，2，…，6）．

(1)、求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格的概率；

(2)、在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对弈三局，每局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛结果相互独立．若选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为 $\frac{2}{3}$ ，获胜后可得1分，若选择A-2型进行对弈，选手获胜概率为 $\frac{1}{3}$ ，获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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18. 已知圆心在 $x$ 轴上移动的圆经过点 $A (- 4, 0)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B (x, 0)$ ， $C (0, y)$ 两个动点．

(1)、求点 $P (x, y)$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过 $A (- 4, 0)$ 作直线与曲线 $Γ$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点．
（i） $E (2, 0)$ ，直线 $E M$ ， $E N$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D$ ， $F$ ，证明直线 $D F$ 过定点，并求出该定点；
（ii） $\{E_{n} (n, 0)\} (n = 1, 2, 3, \dots, n \in N^{*})$ 为点列，直线 $M E_{n}$ ， $N E_{n}$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D_{n}$ ， $F_{n}$ ，若数列 $\{\frac{S_{△ M N E_{n}}}{S_{△ D_{n} E_{n} F_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $16 \leq T_{n} < 32$ ．

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19. 对于任意两个正数 $a, b (a < b)$ ，记区间 $[a, b]$ 上曲线 $y = f (x)$ 下的曲边梯形面积为 $S (a, b)$ ，并规定 $S (a, a) = 0$ ， $S (a, b) = - S (b, a)$ ，记 $S (a, x) = F (x) - F (a)$ ，其中 $f (x) = F^{'} (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $S (1, 2) = S (5, 10)$ ；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $\frac{b - a}{S (a, b)} < \frac{a + b}{2}$ ；

(3)、若 $f (x) = ln x + 1$ ，直线 $y = e$ 与曲线 $S (1, x)$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，求证： $0 < x_{1} x_{2} < \frac{1}{e^{2}}$ （其中 $e$ 为自然常数）．

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