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1、如图，在几何体 $P A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A // D C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P A = A C = A B = 2 D C$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A C$ ．

(2)、证明： $A B ⊥ E F$ .

(3)、求直线 $E F$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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2、甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求甲连续打四局比赛的概率；

(2)、求在前四局中甲轮空两局的概率；

(3)、求第四局甲轮空的概率.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c + b = 2 a \cos B$ ．

(1)、若 $A = \frac{π}{2}$ ，求B；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知函数 $g (x) = |2^{x} - 1|$ ，若函数 $f (x) = {[g (x)]}^{2} + (a - 1) g (x) - 2 (a + 1)$ 有三个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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5、已知在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = (0, 4, 0)$ ， $\vec{C B_{1}} = (3, - 1, 1)$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = (- 2, 0, 0)$ ，则异面直线 $D B_{1}$ 与 $A_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, - 4)$ ．若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ ．

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7、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为6的菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点P满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + t \vec{A A_{1}}$ ，其中 $λ$ ， $μ$ ， $t \in [0, 1]$ ，则（）

A、当P为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心时， $λ + μ + t = \frac{5}{3}$ B、当 $λ + μ + t = 1$ 时， $A P$ 长度的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、当 $λ + μ + t = 1$ 时， $A P$ 长度的最大值为6 D、当 $λ^{2} + μ^{2} + λ μ = t = 1$ 时， $|\vec{A_{1} P}|$ 为定值

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8、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 和数据 $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 的平均数、方差、极差均相等，则（）

A、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 与数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的平均数相等 B、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 与数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的方差相等 C、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 与数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的极差相等 D、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 与数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的中位数相等

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9、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 1)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$

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10、已知过点 $P (1, 1)$ 的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2}$ 的最小值为（）

A、12 B、8 C、6 D、4

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11、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = A A_{1}$ ， $D, E, F$ 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足 $B F ⊥ D E$ 的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12、已知线段 $A B$ 的端点B的坐标是 $(3, 4)$ ，端点A在圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 2$

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，二面角 $B_{1} - A C - B$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{a}{2^{x}} + 2$ ，则 $f (1) =$ （）

A、2 B、4 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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15、已知 $sin α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $cos (\frac{π}{2} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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16、已知复数 $z = 1 + a i$ （ $a > 0$ ），且 $|z| = 3$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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17、迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题.
设 $A$ ， $B$ 是任意两个非空集合，则称集合 $A \times B = \{(a, b) |a \in A, b \in B\}$ 为“ $A$ 与 $B$ 的迪卡尔积”，并记集合 $A \times B$ 的元素个数为 $[A \times B]$ .

(1)、若 $A = {0, 1}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，求 $A \times B$ 与 $B \times A$ ；

(2)、若 $[A \times B] = m^{2}$ ， $[A] \neq [B]$ ， $m$ 为素数，且 $\frac{[A \times A] + 81 \times [B \times B]}{[A \times B]} \geq a$ 对任意素数 $m$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围，并写出当 $a$ 取到最值时 $m$ 应满足的条件及一组符合条件的集合 $A$ ， $B$ .
（提示：当 $x \geq n$ ，且 $n > \frac{1}{\sqrt{a}}$ 时，式子 $\frac{1}{x} + a x (a > 0, x > 0)$ 在 $x = n$ 处取得最小值.）

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18、在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足 $2 a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值.
甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是：
$1 = 2 a + b \geq 2 \sqrt{2 a b} \Rightarrow \sqrt{a b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$ ， $∴ \frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2 a b}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为4.
乙给出的解法是： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) (2 a + b) = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ .

(1)、请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；

(2)、结合上面的材料，求解下面的问题：
①已知正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，求 $2 a + b$ 的最小值，并求出取得最小值时a，b的值；
②已知 $0 < x < \frac{2}{3}$ ，试求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 - 3 x}$ 的最小值，并求出取得最小值时 $x$ 的值.

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19、如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/ $m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ $m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/ $m^{2}$ .设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.

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20、已知集合 $A = \{x |x \leq 1 - a$ 或 $x > 1 + a\}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 2\}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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