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1、设全集 $U = \{x \in N^{*} |x \leq 8\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 5, 8\}$ ， $B = \{5, 6, 7, 8\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ =（）

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 8\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ C、 $\{5, 6, 7, 8\}$ D、 $\{2, 4\}$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $cos A (tan A + tan B) = 2 sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $a = 2, c = 5$ ，边 $A C$ 上的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的长度.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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4、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $A = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $B = C$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $b$ .

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5、岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 $A B$ ，他首先在 $C$ 处，测得楼顶 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，然后沿 $B C$ 方向行走22.5米至 $D$ 处，又测得楼顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，则楼高 $A B$ 为米．

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6、正方形 $A B C D$ 的面积为16， $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，点 $N$ 在线段 $C D$ 上．若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{4}{3} | \vec{A M} |^{2}$ ，则 $|\vec{A N}| =$ ．

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7、若角 $θ$ 的终边经过点 $P (1, 3)$ ，则 $\sin θ \cos θ + \cos^{2} θ =$ .

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8、下列说法中正确的有（）

A、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ B、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ 且 $| \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $30 °$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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9、下列结论正确的是（）

A、 $\sin (α - \frac{π}{2}) = - \cos α$ B、 $\cos (α - π) = - \cos α$ C、 $\tan (- α - π) = - \tan α$ D、 $\cos (\frac{5 π}{2} + α) = \sin α$

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10、式子 $\frac{\sin 20 ° \sqrt{1 + \cos 40 °}}{\cos 50 °}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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11、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ C、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$ D、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) - 1$

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12、 $\sin 25 ° \cos 20 ° + \cos 25 ° \sin 20 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．
（1）当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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14、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $D, E$ 分别为 $B B_{1}, A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A C D$ 的体积．

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15、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\vec{m} = (a, c - 2 b)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
(1)求角 $A$ 的大小；
(2)若 $b + c = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} {sin}^{2} \frac{x}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的最大值．

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17、已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为．

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18、已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为．

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19、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ⊥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ∥ l_{3}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ⊥ l_{3}$ C、 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面 D、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共点 $\Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面

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20、已知 $i$ 是虚数单位， $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 对应的点位于第二象限 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z} = i + 1$ D、复数 $z$ 的虚部是 $i$

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